最近又開始看圖形學以及渲染相關的內容，再次遇到了齊次座標的問題，找到兩篇文章感覺還不錯。轉發一下~
第一篇描述了齊次座標對於表示無窮遠的點的作用，第二篇還描述了其對於點和向量的意義，第三篇描述高維度線性變換與低維度仿射變換的關係，可以輔助理解齊次座標的意義~

先從一個問題開始：兩條平行線可以相交於一點麼？
在歐氏幾何空間，同一平面的兩條平行線不能相交，這是我們都熟悉的一種場景。
然而，在透視空間裡面，兩條平行線可以相交，例如：火車軌道隨著我們的視線越來越窄，最後兩條平行線在無窮遠處交於一點。

歐氏空間（或者笛卡爾空間）描述2D/3D幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），2維笛卡爾座標可以表為（x,y）。

如果一個點在無窮遠處，這個點的座標將會(∞,∞)，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能，數學家發現了一種方式來解決這個問題。

這個方法就是：齊次座標

簡而言之，齊次座標就是用N+1維來代表N維座標

我們可以在一個2D笛卡爾座標末尾加上一個額外的變數w來形成2D齊次座標，因此，一個點(X,Y)在齊次座標裡面變成了（x,y,w），並且有 X = x/w Y = y/w

例如，笛卡爾座標系下（1，2）的齊次座標可以表示為（1，2，1），如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾座標下它變為(∞,∞)，然後它的齊次座標表示為（1，2，0），因為(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我們可以不用”∞"來表示一個無窮遠處的點了，哈哈。

為什麼叫齊次座標？

我們把齊次座標轉化為笛卡爾座標的方法是前面n-1個座標分量分別除以最後一個分量即可。

轉化齊次座標到笛卡爾座標的過程中，我們有一個發現，例如：

你會發現(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)對應同一個Euclidean point (1/3, 2/3)，任何標量的乘積，例如(1a, 2a, 3a) 對應 笛卡爾空間裡面的(1/3, 2/3) 。因此，這些點是“齊次的”，因為他們代表了笛卡爾座標系裡面的同一個點。換句話說，齊次座標有規模不變性。

證明：兩條直線可以相交

考慮如下方程組：

我們知道在笛卡爾座標系裡面，該方程組無解，因為C ≠ D,如果C=D,兩條直線就相同了。

讓我們在透視空間裡面，用齊次座標x/w, y/w代替x ,y,

現在我們有一個解(x, y, 0)，兩條直線相交於(x, y, 0)，這個點在無窮遠處。

小結：齊次座標在圖形學中是一個非常基礎的概念，例如3D場景對映到2D場景的過程中

一直對齊次座標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道“齊次座標在仿射變換中非常的方便”，然後就沒有了後文，今天在一個叫做“三百年 重生”的部落格上看到一篇關於透視投影變換的探討的文章，其中有對齊次座標有非常精闢的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明：“齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。”—— F.S. Hill, JR。

 由於作者對齊次座標真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：

 對於一個向量v以及基oabc，可以找到一組座標(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c          （1）
 而對於一個點p，則可以找到一組座標（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c            （2），

從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在座標系中表示一個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於座標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

(1)(3)是座標系下表達一個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外的資訊。如果我寫出一個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！

我們現在把（1）（3）寫成矩陣的形式：
v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)
p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),

這裡(a,b,c,o)是座標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的座標。這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達：3D向量的第4個代數分量是0，而3D點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次座標表示。

這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。下面是如何在普通座標(Ordinary Coordinate)和齊次座標(Homogeneous Coordinate)之間進行轉換：

• (1)從普通座標轉換成齊次座標時

  如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);

  如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)

• (2)從齊次座標轉換成普通座標時

  如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);

  如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)

以上是通過齊次座標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移T、旋轉R、縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換隻對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次座標用於仿射變換非常方便。

此外，對於一個普通座標的點P=(Px, Py, Pz)，有對應的一族齊次座標(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等於零。比如，P(1, 4, 7)的齊次座標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一個點從普通座標變成齊次座標，給x,y,z乘上同一個非零數w，然後增加第4個分量w；如果把一個齊次座標轉換成普通座標，把前三個座標同時除以第4個座標，然後去掉第4個分量。

由於齊次座標使用了4個分量來表達3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬體已經普遍地支援齊次座標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次座標使用，使得它似乎成為圖形學中的一個標準。

以上很好的闡釋了齊次座標的作用及運用齊次座標的好處。其實在圖形學的理論中，很多已經被封裝的好的API也是很有研究的，要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。