問題：兩條平行線可以相交於一點

在歐氏空間（幾何），同一平面的兩條平行線不能相交，或永遠不能相遇。這是我們都熟悉的常識。

然而，在透視空間裡面，兩條平行線可以相交，例如：在下圖中，火車軌道離我們的視線越遠，變得越窄。最後，兩條平行線相交於地平線處，即無窮遠處的一點。

歐氏空間（或笛卡爾空間）描述 2D / 3D 幾何非常適合，但是這種方法卻不適合處理透視空間的問題（實際上，歐氏幾何是透視幾何的一個子集合），2D 點的笛卡爾座標可以表示為 (x,y) $($

x , y ) $\left( x,y \right)$ 。

如果一個點在無窮遠處，這個點的座標將會是 (∞,∞) $(\mathrm{\infty }$

, ∞ ) $\left( \infty ,\infty \right)$，在歐氏空間，這變得沒有意義。平行線在透視空間的無窮遠處交於一點，但是在歐氏空間卻不能。數學家發現了一種方法來解決這個問題。

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方法：齊次座標

August Ferdinand Möbius 引入了齊次座標，使得在透視空間進行圖形和幾何計算成為可能。齊次座標是一種使用N+1個數來代表N維座標的方法。

為了構建 2D 齊次座標，我們可以在現有笛卡爾座標基礎上，加一個額外的變數

$w$ 。因此，笛卡爾座標系內的點$\left( X,\,\,Y \right)$ 在齊次座標系裡面變成了 $\left( x,\,\,y,\,\,z \right)$ ，並且有

$$\begin{cases} X=x\,\,/\,\,w\\ Y=y\,\,/\,\,w\\ \end{cases}$$
比如，笛卡爾座標系下的點（1，2）的齊次座標可以表示為（1，2，1）。如果點（1，2）移動到無限遠處，在笛卡爾座標下它變為 $\left( \infty ,\infty \right)$ ，然後它的齊次座標表示為（1，2，0），因為 $\left( \text{1/0,2/}0 \right) \approx \left( \infty ,\,\,\infty \right)$ 。注意，我們可以不用 “ $\infty$ “ 來表示一個無窮遠處的點了。

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為什麼叫齊次座標？

如上所述，為了將齊次座標 $\left( x,\,\,y,\,\,z \right)$ 轉化為笛卡爾座標$\left( X,\,\,Y \right)$ ，只需將 $x$ 和 $y$ 除以 $w$ 即可：

$$\begin{array}{c} \left( x,y,w \right)\\ Homogeneous\\ \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{c} \left( \frac{x}{w},\frac{y}{w} \right)\\ Cartesian\\ \end{array}$$
轉化齊次座標到笛卡爾座標的過程中，我們有一個重要發現，請看下面的例子：
HomogeneousCartesian(1,2,3)⟹(13,23)(2,4,6)⟹(26,46)=(13,23)(4,8,12)⟹(412,812)=(13,23)⋮⋮(1a,2a,3a)⟹(1a

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