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洛谷P3824
BZOJ4944
UOJ#316
LOJ#2304

Solution…

一、差分 容斥

要限制最大值恰好為一個定值往往是不好做的。
所以考慮容 (cha) 斥 (fen) ，把詢問 $=K$ 拆成 $\le$

二、 $g[i][j]$ 和 $s[i][j]$

狀態 $g[i][j]$ 的定義為底邊長為 $i$ ，高為 $1001$ ，最下面恰好 $j$ 行全部安全並且這個底邊長為 $i$ 高為 $1001$ 的矩形內不存在任意安全子矩形面積大於 $K$ 的概率。
$s[i][j]$ 表示底邊長為 $i$ ，高為 $1001$ ，最下面至少 $j$ 行全部安全並且不存在任意安全子矩形面積大於 $K$ 的概率。相當於是 $g[i][j]$ 的字尾和。
設 $a[k]$ 為第 $k$ 列的最下面有多少個安全的格子。
那麼顯然第 $l$ 列到第 $r$ 列內的最大安全子矩形為 $r-l+1$ 乘上 $a$ 在區間 $[l,r]$ 內的最小值。
這涉及到所有區間的最小值，故可以採用笛卡爾樹的思想，找到最小值並向最小值的兩邊分治處理。
對於 $g[i][j]$ ，我們先列舉 $k\in[0,i-1]$ 表示 $a$ 中最左的最小值在 $k+1$ 位置。顯然 $a[k+1]$ 應該為 $j$ （ $g$ 的定義為最小值恰好為 $j$ ）。
則 $a[1\dots k]$ 必須嚴格大於 $a[k+1]$ 即 $j$ （因為 $a[k+1]$ 是最左的最小值），
即 $s[k][j+1]$ 。
$a[k+2\dots i]$ 必須大於等於 $a[k+1]=j$ ，即 $s[i-1-k][j]$ 。
$a[k]=j$ 的概率就是下面 $j$ 個格子全部安全而第 $j+1$ 個格子不安全的概率。
即 $q^j(1-q)$ 。
得出轉移：
$g[i][j]=\sum_{k=0}^{i-1}q^j\times(1-q)\times s[k][j+1]\times s[i-1-k][j]$
$s$ 是 $g$ 的字尾和：
$s[i][j]=s[i][j+1]+g[i][j]$
邊界：
$s[0][0...K+1]=1$
複雜度：看上去是 $O(K^3)$ ，但是任何一個 $g[i][j]\ne 0$