常係數齊次線性遞推式

fk=∑i=1naifk−i$$f_k=\sum _{i=1}^n{a}_i{f}_{k-i}$$

形如上式的dp$dp$轉移式(f$f$表示dp$dp$狀態，a$a$表示轉移係數)即為常係數齊次線性遞推式。對於這樣的dp$dp$式，給定f1,2,..,k,a1,2,...,k$f_{1,2,..,k},a_{1,2,...,k}$，即可遞推出fn(n>k)$f_n(n>k)$。

常係數：每一項均由前k$k$項乘以固定係數得到。齊次：都為一次式。線性遞推：顯然。

矩陣快速冪優化上式達到O(k3logn)$O(k^3\log n)$的複雜度(但這不是本文的重點)。

而常係數齊次線性遞推式的轉移矩陣的特徵多項式可以O(讀入)$O(讀入)$求出，所以通過特徵多項式可以進一步優化到

O(k2logn)$O(k^2\log n)$，再進一步優化多項式取模後可以做到O(klogklog)$O(k\log k\log )$(本文講解O(k2logn)$O(k^2\log n)$的暴力取模方法)。

特徵值&特徵向量&特徵多項式

設A$A$為n$n$階方程，如果存在常數λ$\lambda$及非零向量v⃗ $\overrightarrow{v}$，使得Av⃗ =λv⃗ $A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$，則稱λ$\lambda$為A$A$的特徵值(也稱縮放係數)，非零向量v⃗ $\overrightarrow{v}$為A$A$的對應於特徵值λ$\lambda$的特徵向量。

則： Av⃗ =λv⃗ ⟺(λI−A)v⃗ =0$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}⟺(\lambda I-A)\overrightarrow{v}=0$

其有非零解的充要條件：det(λI−A)=|λI−A|=0$det(\lambda I-A)=$

|λI−A|=0 (det(A),|A|$det(A),|A|$是矩陣A$A$的行列式的兩種等價的表示方式) (並不會證明，似乎det()=0$det()=0$的一個矩陣可以想象成拍扁成了向量？而一個可逆的(det()≠0$det()\ne 0$的矩陣乘上一個向量並不能得到0)。

方程|λI−A|=0$|\lambda I-A|=0$稱為A$A$的特徵方程。

設A=a(ij)$A=a(ij)$的秩(列秩/行秩)為n$n$(令A$A$是滿秩的)，則A$A$的有n$n$組線性不相關特徵值和特徵向量(唔，證明沒有找到)。 則有: (

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