HDU-1204 糖果大戰（概率DP）

題意

兩個人分別有 $N,M$ 顆糖果，現在他們在玩 $24$ 點，已知這兩人分別想出來的概率為 $p, q$

p, q

$p,q$ ，贏可以獲得對方的一顆糖，當某個人糖被拿完就判輸，求第一個人勝利的概率。

1 \leq N, M \leq 50

$1 \leq N,M \leq 50$

思路

贏的概率為 $p (1 - q)$

$p(1-q)$ ，輸的概率為

q (1 - p)

$q(1-p)$ ，那麼這兩個數分別除以

p (1 - q) + q (1 - p)

$p(1-q)+q(1-p)$ 就能排除和的情況。
問題就轉化成了已知第一個人贏的概率為

p ​

$p$ ，第二個人贏的概率為

q ​

$q$

(p + q = 1) ​

$(p+q=1)$ ，求第一個人獲勝概率。
設

a_{n}

$a_n$ 為第一個人手中有

n

$n$ 個糖果的獲勝概率。

a_{n} = p a_{n + 1} + q a_{n - 1}

$a_n=pa_{n+1}+qa_{n-1}$ ,

a_{0} = 0

$a_0=0$ ,

a_{N + M} = 1

$a_{N+M}=1$ , 求

a_{N}

$a_N$ .

a_{n - 1} = q a_{n} + p a_{n - 2}

$a_{n-1}=qa_{n}+pa_{n-2}$

a_{n} = \frac{1}{p} a_{n - 1} - \frac{q}{p} a_{n - 2}

$a_n=\dfrac{1}{p}a_{n-1}-\dfrac{q}{p}a_{n-2}$
寫出特徵方程

x^{2} - \frac{1}{p} x + \frac{q}{p} = 0

$x^2-\dfrac{1}{p}x+\dfrac{q}{p}=0$
即

x^{2} - \frac{1}{p} x + \frac{1 - p}{p} = 0

$x^2-\dfrac{1}{p}x+\dfrac{1-p}{p}=0$
解得

x_{1} = \frac{1 - p}{p} = \frac{q}{p}

$x_1=\dfrac{1-p}{p}=\dfrac{q}{p}$ ,

x_{2} = 1

$x_2=1$ .
設通項為

a_{n} = K_{1} (\frac{q}{p})^{n} + K_{2} 1^{n}

$a_n=K_1(\dfrac{q}{p})^n+K_21^n$ 即

a_{n} = K_{1} (\frac{q}{p})^{n} + K_{2}

$a_n=K_1(\dfrac{q}{p})^n+K_2$
有

a_{0} = K_{1} + K_{2}, a_{N + M} = K_{1} (\frac{q}{p})^{N + M} + K_{2}

$a_0=K_1+K_2,a_{N+M}=K_1(\dfrac q p)^{N+M}+K_2$
即

K_{1} + K_{2} = 0, K_{1} (\frac{q}{p})^{N + M} + K_{2} = 1

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題意

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