演算法導論第22章：基本的圖演算法
目錄
圖的表示
1.鄰接矩陣（Adjacency Matrix）
2.鄰接連結串列（Adjacency List）
3.完善鄰接連結串列（Implementing Adjacency List）
4.握手定理：無向圖所有結點的度之和 = 邊數 * 2
特殊的圖
1.樹（Tree）
2.有向無環圖（Directed Acyclic Graph）
3.二分圖（Bipartite Graph）
圖的遍歷
1.深度優先搜尋
2.廣度優先搜尋
拓撲排序（Topological Sort）
輸入：DAG圖
輸出：如果e(u, v)，則u在v的前面（結果不唯一）
思路一： O(n² + m)
①找到一個入度為0的點，加入到答案，把它的前向邊全部刪除；
②重複這一過程。
思路二：Θ(n + m)
①預計算所有點的入度
②把入度為0的點加入佇列
③對於每個在佇列中的點的連結串列，減去對應點的入度，若入度為0，加入佇列
④重複，直到佇列空
加入佇列的順序即為拓撲序
思路三：Θ(n + m)
深度優先搜尋，記錄u.f為u結點鄰接連結串列被掃描完之後的時間，按f從大到小排序即為拓撲序
只需證明：若e(u, v)則u在v前面。
e被探索時，v不可能為灰色，因為這意味這環；
若v為白色，v必為u的後代，u肯定後被處理完；
若v為黑色，v.f已經確定，必定小於u.f
強連通分量（Strongly Connected Components）
Kosaraju’s Algorithm：Θ(V+E)
①DFS計算出所有結點的掃描連結串列完成時間f
②按f的逆序搜尋樹，合併組成森林即為SCC
歐拉回路（Eulerian Circuit）
無向圖有歐拉回路：連通，且每個節點的度為偶數
無向圖有尤拉路：連通，且擁有奇數度數的結點個數為0或2
哈密爾頓： Looks similar but very hard (still unsolved)!
題選
1.求s->t的簡單路徑條數：拓撲排序+DP
2.判斷圖是否存在環：DFS過程觀察是否有後向邊，至多V次左右
3.給定有向圖G = (V, E)，如果對於所有結點對u, v ∈ V，我們有u→v或v→u，則G是半連通的。請給出一個有效的演算法來判斷圖G是否半連通的。證明演算法的正確性並分析其執行時間。
ANSWER：先執行強連通分量演算法，按照第二次DFS結點搜尋順序給連通分量按升序標號（1~k），並生成分量圖SCC(G)。在分量圖SCC(G)中，由於標號為 i+1 的連通分量不可能指向標號為 i 的連通分量，所以只需要從1~k按順序檢測是否存在(1, 2)、(2, 3) ... (k-1, k)的分量的邊。若存在，則半連通；反之，則不是半連通。演算法時間複雜度為O(V+E)。