快速排序的最壞情況時間複雜度為Θ(n^2)。雖然最壞情況時間複雜度很差，但是快速排序通常是實際排序應用中最好的選擇，因為它的平均效能很好。它的期望執行時間複雜度為Θ(n lg n)，而且Θ(n lg n)中蘊含的常數因子非常小，而且它還是原址排序的。

快速排序是一種排序演算法，對包含n個數的輸人陣列，最壞情況執行時間為Θ(n^2) 。雖然這個最壞情況執行時間比較差，但快速排序通常是用於排序的最佳的實用選擇，這是因為其平均效能相當好：期望的執行時間為Θ(nlgn), 且Θ(nlgn)記號中隱含的常數因子很小。另外， 它還能夠進行就地排序，在虛存環境中也能很好地工作。

快速排序的描述：

快速排序也採用分治法進行排序，首先在陣列中選擇一個元素P，根據元素P將陣列劃分為兩個子陣列，在元素P左側的子陣列的所有元素都小於或等於該元素P，右側的子陣列的所有元素都大於元素P。

下面是對一個典型子陣列A[p...r]排序的分治過程的三個步驟：

分解：

陣列A[p..r]被劃分為兩個子陣列A[p..q-1]和A[q+1..r]使得A[p..q-1]中的每個元素都小於等於A(q)，而且，元素A(q)小於等於A[q+1..r]中的元素。下標q也在這個劃分過程中進行計算。

解決：

通過遞迴呼叫快速排序，對子陣列A[p..q-1]和A[q+1...r]排序。

合併：

因為兩個子陣列是就地排序的，將它們的合併不需要操作：整個陣列A [ p.. r ] 己排序。

虛擬碼：

//快速排序
QUICKSORT(A,p,r)
if p < r //當陣列中只剩一個元素時，退出遞迴，陣列已經有序
    q <- PARTITION(A,p,r)
    QUICKSORT(A,p,q-1) //對小於等於A[q]的元素進行遞迴
    QUICKSORT(A,q+1,r) //對大於A[q]的元素進行遞迴
//陣列劃分
PARTITION(A,p,r)
    x <- A[r] //將A[r]選取為“主元”
    i <- p - 1 //因為可能不存在小於等於A[r]的元素，所以i的值由p-1開始
    for j <- p to r-1 
        if A[j] <= x 
            i <- i + 1 //小於等於x的元素增加一個
            exchange A[i] <-> A[j] 
//i+1後，i指向了一個大於x的元素，此時，j指向的是一個小於等於x的元素，交換這兩個元素的位置，使其符合規則
    exchange A[i+1] <-> A[r] //r前所有元素比較完後，將A[r]置於正確位置：兩個子陣列的交界處
    return i + 1 //返回"主元"的位置
 

如：

習題：

7.1-2：

當陣列A[p.. r] 中的元素均相同時， PARTITION返回的q值是什麼？修改PARTITION，使得當陣列A[p.. r] 中所有元素的值相同時， q = (p+r)/2 。

返回最後一個元素r 。

修改PARTITION：

PARTITION_1(A,p,r)
    x <- A[r]
    i <- p - 1
    count <- 0
    //加入一個計數器
    for j <- p to r - 1
        if A[j]<= x
            if A[i] == x
                count = count + 1
            i <- i + 1
            exchange A[i] <-> A[j]
    if count == r - p + 1
        return (p + r)/2
    exchange A[i + 1] <-> A[r]
    return i + 1
 

快速排序的效能：

快速排序的執行時間依賴於劃分是否平衡，如果劃分平衡，那麼快速排序演算法效能與歸併排序一樣，如果劃分不平衡，那麼快速排序的效能就接近於插入排序了。

 最壞情況劃分（不平衡）：

最壞情況下，每次劃分的兩個子問題都分別包含了n-1個元素和0個元素。劃分操作的時間複雜度是 Θ(n)，因為對一個大小為0的陣列進行遞迴呼叫後，返回了T(n)=O(1)，故演算法的執行時間可遞迴的表示為：

T(n) = T(n-1) + T(0) + Θ(n) =T(n-1) + Θ(n)

該遞迴式的解為：T(n) =Θ(n^2)。因此，最壞情況下，也就是陣列中元素已經排好序的時候，快速排序的時間複雜度為Θ(n^2)，而在同樣的情況下，插入排序的時間複雜度為O(n)。

最好情況劃分（最平衡）：

最好的情況下，每次劃分都是平均的劃分為n/2個元素子陣列，此時遞迴式為：

T(n) = 2T(n/2) +T(0) + Θ(n)

該式的解為T(n) = Θ(nlgn)。

快速排序的平均執行時間更接近於其最好情況，而非最壞情況。

事實上，任何一種常數比例的劃分都會產生深度為Θ(nlgn)的遞迴樹，其中每一層的代價都是O(n)，因此，只要劃分是常數比例的，演算法的執行時間總是O(nlgn)。

如：

例如，假設劃分過程總是產生9 : 1 的劃分，乍一看這種劃分很不平衡，這時，快速排序執行時間的遞迴式為
T(n) <= T(9n/10) + T(n/10) + cn

該樹每一層的代價都是cn, 直到在深度處達到邊界條件時為止，在此之下各層的代價至多為cn。遞歸於深度處終止。這樣，快速排序的總代價為O(nlgn) 。

當資料量很小的時候，比如只有十幾個元素的小型序列，快排的優勢並不明顯，甚至比插入排序慢。但是一旦資料多，它的優勢就充分發揮出來了。

C++ STL 中的sort函式，就充分發揮了快排的優勢，並且取長補短，在資料量大時採用QuickSort，分段遞迴排序。一旦分段後的資料量小於某個門檻，為避免QuickSort遞迴呼叫帶來過大的額外負荷，就改用插入排序。如果遞迴層次過深，還會改用HeapSort(堆排序)。所以說，C++的“混合兵種”sort的效能肯定會比C的qsort好。

習題：

7.2-1：

利用代換法證明： 遞迴式的解為，如第7. 2 節開頭提到的那樣。

這裡只證明上界，下界可類似證明。 

猜測

綜合上下界有T(n)=Θ(n2)。

7.2-2：

當陣列A 的所有元素都具有相同值時， QUICKSORT 的執行時間是什麼？

當陣列A的所有元素都具有相同值時，此時出現最壞情況，每次劃分會出現大小為0和n−1的子陣列，此時時間複雜度為Θ(n2)。

快速排序的隨機化版本：

當輸入的資料是隨機排列的時候，快速排序的時間複雜度是O(nlgn)。但是在實際中，輸入並不總是隨機的，因此需要在演算法中引入隨機性，可以對輸入進行重新排列是演算法實現隨機化， 也可以進行隨機抽樣，隨機抽樣是從陣列A[p…r]中隨機選擇一個元素作為主元。

虛擬碼：

Randomized-Partition(A, p, r)
    i <- Random(p, r)
    exchange A[r] <-> A[i]
    return Partition(A, p, r)
Randomized-Quick-sort(A, p, r)
    if p < r
        q <- Randomized-Partition(A, p, r)
        Randomized-Quick-sort(A, p, q-1)
        Randomized-Quick-sort(A, q+1, r)

使用尾遞迴優化快速排序：

傳統的遞迴演算法在很多時候被視為洪水猛獸. 它的名聲狼籍, 好像永遠和低效聯絡在一起，尾遞迴是極其重要的，不用尾遞迴，函式的堆疊耗用難以估量，需要儲存很多中間函式的堆疊。

QUICKSORT演算法包含兩個對其自身的遞迴呼叫，即呼叫PARTITION後，左邊的子陣列和右邊的子陣列分別被遞迴排序。

QUICKSORT中的第二次遞迴呼叫並不是必須的，可以用迭代控制結構來代替它，這種技術叫做“尾遞迴”，大多數的編譯器也使用了這項技術。

下面的虛擬碼模擬了尾遞迴：

QUICKSORT'(A, p, r)
    while p < r
    do ▸ Partition and sort left subarray.
        q <- PARTITION(A, p, r)
        QUICKSORT'(A, p, q - 1)
        p <- q + 1

注意第一行是while而不是if。

上面的版本在最壞的情況下，就是劃分不好的時候，遞迴深度為O(n)。

我們還可以進一步優化，用二分思想，為了使最壞情況下棧的深度為Θ(lgn)，我們必須讓PARTITION後左邊的子陣列為原來陣列的一半大小，這樣遞迴的深度最多為Θ(lgn)。

一種處理方案：

首先求得(A, p, r)的中位數，作為PARTITION的樞軸元素，這樣可以保證左右兩邊的元素的個數儘可能的均衡。

因為求中位數的過程MEDIAN的時間複雜度為Θ(n)，因此可以保證演算法的期望的時間複雜度O(nlgn)不變。

優化後的尾遞迴快排：

QUICKSORT (A, p, r) 
    while p < r
        do Partition and sort the small subarray Prst 
        q <- PARTITION(A，p，r) 
        if q - p < r - q
            then QUICKSORT (A, p, q - 1) 
                p <- q + 1
        else QUICKSORT (A, q + 1,r)
            r <- q - 1

除此之外，快排還可以有優化：

三數取中：

從子陣列中隨機選出三個元素，取其中間數作為主元，不過這隻能影響快速排序時間複雜度O(nlgn)的常數因子。

非遞迴方法：

即模擬遞迴，這樣可以完全消去遞迴的呼叫。

三劃分快速排序：

基本思想是，在劃分階段以V=A[r]為基準，將帶排序陣列A[p..r]劃分為左、中、右三段A[p,j],A[j+1..q-1],A[q..r]，其中左段陣列元素值小於V，中斷陣列等於V，有段陣列元素大於Ｖ。其後，演算法對左右兩段陣列遞迴排序。 這個方法對於有大量相同資料的陣列排序效率有很大的提高，即使沒有大量相同元素，也不降低原快排演算法的效率。

快速排序分析：

利用RANDOMIZED-PARTITION，快速排序演算法期望的執行時間當元素值不同時，為O(nlgn)。

習題：

7.4-1：

證明：在遞迴式：中，T(n)=Ω(n^2)。

使用代換法。

猜測 T(n) <= c*n^2，c為某個常數。

選擇足夠大的c,使得 c*(2*n-1)可以支配Θ(n)， T(n) <= c*n^2成立。

7.4-4：

證明：RANDOMIZED-QUICKSORT 演算法的期望執行時間是Ω(nlgn)。