1.點與坐標系

二維時：xy坐標和指向角度，例如掃地機器人，朝哪個方向運動 即 (x , y , θ )

向量的內積

向量的外積

a × b = a的反對稱矩陣 點乘 b =a ^ b 其中 a^ 為a的反對稱矩陣

坐標系：世界坐標系，機器人坐標系，傳感器坐標系

2.旋轉矩陣

考慮旋轉不考慮平移，一個固定點（坐標旋轉否它就在那裏），在兩個坐標系的向量相等。

向量與坐標不能等同，當指定坐標系時，向量才有坐標，有實數對應。向量的坐標取值與向量和坐標系有關。

兩邊同時左乘一個向量，

使上式左邊系數變成單位陣，即有

R為特殊正交群SO(3)。特殊正交群表示旋轉，特殊歐式群SE(3) 表示變換即旋轉+平移

性質：

有平移時

齊次形式

特殊歐式群

變換矩陣T的逆

3.旋轉向量和歐拉角

旋轉向量：

方向為旋轉軸，長度為轉過的角度

旋轉向量到旋轉矩陣的轉換公式，羅德裏格斯公式Rodrigues‘s Formula

旋轉矩陣到旋轉向量

關於轉軸n，旋轉軸上的向量在旋轉後不變，說明Rn=n。轉軸n是矩陣R特征值1對應的特征向量。

歐拉角

將旋轉分解為三個方向的轉動

例如RPY roll pitch yall

想象飛機的飛行

1 繞Z軸旋轉，得到偏航角yaw

2 繞旋轉後的Y軸旋轉，得到俯仰角 pitch

3 繞旋轉後的X軸旋轉，得到滾轉角roll

歐拉角存在萬向鎖問題

存在奇異性，消失一個自由度

不適合插值和叠代，多用於人機交互，slam中少用

(1) 三維空間剛體運動