我們都知道，給定N個一維實數空間上的樣本點{ xi，i=1,2,3... }，假定樣本點服從單峰高斯分佈，那麼，最大似然估計的引數表示式為：

期望：   方差：

可是，你是否注意過，在我們從小接受到的方差定義公式，卻與最大似然估計的不一樣，一個分母為n-1，一個為n。這是不是意味著最大似然估計的不準確？如何衡量這種不準確？換個角度，更進一步，方差的定義公式為什麼要除以n-1？本文將從最後一個問題出發，一步一步解答這些問題。

本文主要以張賢達《現代訊號處理》第二版第二章第一節為參考資料，輔以一些網頁資料，並在文章中標註出引用處。

1、n-1能更準確的反應現實世界

如果樣本集中只有一個樣本，試問：這個時候高斯分佈的方差應該是多少？是0還是無窮大？如果是無窮大，那麼來第二個樣本點的話，我們將是無法預知落在什麼地方（方差無窮大，可以看做是整個實數軸上的均勻分佈）；如果是0，那麼來第二個樣本點的話，我們將肯定它的值仍然等於x1（方差為零，可以看做是確定事件）。顯然，方差為無窮大更符合現實世界，更符合我們的直觀感受。也就是是說，分母為n-1更能反應現實世界。

“樣本的容量小於整體，所以有較小的可能性抽中一些極端的資料。比如找來一堆人做樣本來測量身高，那麼樣本中出現巨人的可能性是很小的，這樣得到的結果可能就比實際小。為了彌補這點不足，就把分母變得小一些，這樣就更能反應實際資料了。質疑：這個解釋其實不太合理。因為既然可能抽不到高個子，也同樣可能抽不到矮個子，所以，分母既然可以變得小一些，也就應該有同樣的理由變得大一些。我認為這個角度並不能說明問題。”

2、自由度的解釋

這一點解釋也是網上普遍存在的一種解釋，當然也屬於比較直觀的理解。可以這麼理解，在期望的定義中我們看到，分子有N個獨立的變數，則會在分母上除以N，而方差的定義式中，均值已經限制了前面N個樣本值只有N-1個是獨立的，因為一旦知道了N-1個樣本點，就可以結合均值計算出第N個樣本點。所以，方差的定義式中分母除以了N-1.

質疑：為什麼N-1個獨立變數，就應該在分母上除以N-1呢？

3、數學語言的解釋

首先，引入估計子效能評估的概念。我們知道，引數估計方法多種多樣，常見的有最大似然估計、最大後驗估計、貝葉斯估計、最小均方誤差估計等，那麼如何評價這些估計子的效能呢？由此引入無偏估計和漸進無偏估計的概念。

所謂無偏估計，反應了這樣一個事實，對一個引數估計多次，得到多個估計值，這多個估計值的平均值能夠很好的逼近引數的真實值。嚴謹的數學定義為：

                        注意：估計值的均值是樣本集大小N的函式。

所謂漸進無偏估計，則考慮到了這樣一個直觀的事實，每次估計時，樣本越多，估計越準確，因此，當我們手頭上有足夠多的樣本時，評估一個估計子的效能時，就可以比較他們在樣本集大小N趨向無窮大時與真實值的偏差。嚴謹的數學定義為：

注意：無偏估計子一定是漸進無偏的，但是漸進無偏的不一定是無偏的。

下面，我們從無偏估計的定義出發，證明均值和方差的定義式（雖然是定義式，但也是定義在特定樣本集上的，本質上仍然是一種對真實值的估計）都是對真實值的無偏估計。

編輯公式實在是件費盡的事情，直接寫在紙上了，可能看起來有點費盡，見諒見諒。

由此可見，均值和方差的定義式均是無偏估計子。另外，我們需要注意的是，有偏的漸進無偏估計子並不一定比無偏估計子差，這主要體現在實際計算的可行性（矩陣滿秩等問題）、計算複雜度等問題上。

4、總結

從上面三個方面我們可以理解方差的定義式中為什麼用n-1作為分母，同時，我們需要知道的是，最大似然估計雖然是有偏估計，但是由於其漸進無偏性，是一種廣泛使用的引數估計方法。