模型已定，參數未知

最大似然估計提供了一種給定觀察數據來評估模型參數的方法，假設我們要統計全國人口的身高，首先假設這個身高服從服從正態分布，但是該分布的均值與方差未知。我們沒有人力與物力去統計全國每個人的身高，但是可以通過采樣，獲取部分人的身高，然後通過最大似然估計來獲取上述假設中的正態分布的均值與方差。

最大似然估計中采樣需滿足一個很重要的假設，就是所有的采樣都是獨立同分布的。下面我們具體描述一下最大似然估計：

首先，假設為獨立同分布的采樣，θ為模型參數,f為我們所使用的模型，遵循我們上述的獨立同分布假設。參數為θ的模型f產生上述采樣可表示為

回到上面的“模型已定，參數未知”的說法，此時，我們已知的為，未知為θ，故似然定義為:

　　在實際應用中常用的是兩邊取對數，得到公式如下：

　　其中稱為對數似然，而稱為平均對數似然。而我們平時所稱的最大似然為最大的對數平均似然，即：

假如有一個罐子，裏面有黑白兩種顏色的球，數目多少不知，兩種顏色的比例也不知。我 們想知道罐中白球和黑球的比例，但我們不能把罐中的球全部拿出來數。現在我們可以每次任意從已經搖勻的罐中拿一個球出來，記錄球的顏色，然後把拿出來的球 再放回罐中。這個過程可以重復，我們可以用記錄的球的顏色來估計罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重復記錄中，有七十次是白球，請問罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人馬上就有答案了：70%。而其後的理論支撐是什麽呢？

我們假設罐中白球的比例是p，那麽黑球的比例就是1-p。因為每抽一個球出來，在記錄顏色之後，我們把抽出的球放回了罐中並搖勻，所以每次抽出來的球的顏 色服從同一獨立分布。這裏我們把一次抽出來球的顏色稱為一次抽樣。題目中在一百次抽樣中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，這裏Data是所有的數據，M是所給出的模型，表示每次抽出來的球是白色的概率為p。如果第一抽樣的結果記為x1，第二抽樣的結果記為x2... 那麽Data = (x1,x2,…,x100)。這樣，

　　　　P(Data | M)

　　　　　= P(x1,x2,…,x100|M)

　　　　　= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

　　　　　= p^70(1-p)^30.

那麽p在取什麽值的時候，P(Data |M)的值最大呢？將p^70(1-p)^30對p求導，並其等於零。

　　　　70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。

　　　　解方程可以得到p=0.7。

在邊界點p=0,1，P(Data|M)=0。所以當p=0.7時，P(Data|M)的值最大。這和我們常識中按抽樣中的比例來計算的結果是一樣的。

假如我們有一組連續變量的采樣值（x1,x2,…,xn），我們知道這組數據服從正態分布，標準差已知。請問這個正態分布的期望值為多少時，產生這個已有數據的概率最大？

　　　　P(Data | M) = ？

根據公式

　　可得:

　　對μ求導可得 ,則最大似然估計的結果為μ=(x1+x2+…+xn)/n

由上可知最大似然估計的一般求解過程：

　　（1） 寫出似然函數；

　　（2） 對似然函數取對數，並整理；

　　（3） 求導數 ；

　　（4） 解似然方程

註意：最大似然估計只考慮某個模型能產生某個給定觀察序列的概率。而未考慮該模型本身的概率。這點與貝葉斯估計區別。

【MLE】最大似然估計Maximum Likelihood Estimation