P4781 【模板】拉格朗日插值
阿新 • • 發佈:2018-12-27
給定\(n+1\)個點,可以唯一確定一個多項式,求出這個多項式在\(k\)處的值
假設該多項式為\(f(x)\),第\(i\)個點的座標為\((x_i,y_i)\),則\[f(k) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{k - x[j]}{x[i] - x[j]}\]
原因的話……首先如果把\(k\)當做自變數的話,那麼這是一個\(n\)次多項式,然後分別用\(x[i]\)代入\(k\),發現除了第\(i\)項其他的分子中都有\(x[i]-x[i]=0\),那麼其他所有項都被消去了,那麼這個多項式就是經過這\(n+1\)個點的\(n\)
複雜度為\(O(n^2)\)
//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } const int N=2005,P=998244353; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} int ksm(R int x,R int y){ R int res=1; for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x); return res; } int x[N],y[N],n,ans,k,res; int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); n=read(),k=read(); fp(i,1,n)x[i]=read(),y[i]=read(); fp(i,1,n){ res=1;fp(j,1,n)if(i!=j)res=mul(res,dec(x[i],x[j])); res=ksm(res,P-2); fp(j,1,n)if(i!=j)res=mul(res,dec(k,x[j])); res=mul(res,y[i]),ans=add(ans,res); }printf("%d\n",ans);return 0; }