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列空間和零空間-線性代數課時6(MIT Linear Algebra , Gilbert Strang)

         這是Strang教授的第六講,講解的內容是線性代數裡的倆個最重要向量子空間:列空間和零空間,同時還有上節課剩餘的一點關於向量空間的問題。1.向量空間和子空間;2.列空間;3.零空間。

1.向量空間和子空間

        這裡還有一點關於向量空間和子空間的問題。假設有兩個向量子空間P和L,回答下面兩個問題:1.P\cup L是向量子空間嗎?2.P\cap L是向量子空間嗎?下面直接給出問題的答案:

       問題1: P\cup L不一定是向量子空間,比如L是三維空間中過原點的直線,P是三維空間中過原點的平面,那麼P和L都是R^{3}的向量子空間,但P\cup L卻並不一定:如果L在平面P上,那麼P\cup L=P,是向量子空間;但如果L穿過平面P,P\cup L

就不是向量子空間。

        問題2:P\cap L一定也是向量子空間。

2.列空間

        列空間是十分重要的一個向量子空間。舉例說明列空間是什麼樣的子空間,也引出列空間的定義。e.x.:

       A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 1 & 3\\ 3 &1 & 4\\ 4 & 1 &5 \end{bmatrix}

        列空間的定義:The column space consists of all combinations of the columns. The combinations are all posible vectors Ax.They fill the column space C(A).

        簡單說,列空間是對矩陣A的,記作C(A),是由A的列向量所有可能線性組合構成的向量空間。既然C(A)

是由A的列向量線性組合構成的向量空間,那麼上面例子中的C(A)R^{4}的一個向量子空間,對於mxn大小的A,C(A)是屬於R^{m}的。抽象的定義背後總是存在實際的意義,那麼定義列空間的意義何在呢?

        還是回到解線性方程組的問題上,上面的矩陣A是某個線性方程組Ax=b的係數矩陣。那麼我們提出問題:對於所有的右側向量b,方程組Ax=b都有解呢?如果不是,那麼什麼樣的b讓方程組有解?

        首先,問題1的答案是否定的,以中學就學過,3個未知數,4個方程的方程組不一定有解。用線性代數的知識解釋就是:3個列向量的線性組合不能充滿整個R^{4}。那麼什麼樣的b讓方程組有解呢?答案是:

       Ax=b有解,當且僅當b屬於A的列空間

       這是列空間背後的意義所在,它決定了方程組的解的可能性。

       列空間只是向量空間的一個特殊定義,它和其他向量空間本質上並沒有什麼不同,只是它裡面的向量都是源自某個矩陣的列向量。下面說一下在任意向量空間V中產生子向量空間的方法(視訊中未講):

       假設S是向量空間V中的一組向量,我們可以得到V的子空間SSSS =S所有線性組合。

3.零空間

        定義:

        The nullspace of A consists of all solutions to Ax=0. These vectors x are in R^{n}.The nullspace containing all solutions of Ax=0 is denoted by N(A).

        簡單說,矩陣A的零空間就是使得Ax=0成立的所有解構成的向量子空間。

        對於上面例子中的矩陣A,它的零空間空間由下面的方程組求解:

        \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 2& 1 & 3\\ 3 &1 & 4\\ 4 & 1 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{bmatrix}=0

        求解上面的線性方程組,可得 : N(A):c\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix},這裡的零空間是3維空間中過原點的一條直線。

        注意:對於mxn的實數矩陣A,N(A)R^{n}的向量子空間,N(A)空間中的向量和A的行向量大小一樣;而C(A)R^{m}的向量子空間。

        給出兩個檢驗:

        (1)Ax=0的解構成一個向量子空間.

        (2)Ax=b的解不構成一個向量子空間.

        這兩個檢驗的證明很簡單,檢驗證明在這裡不列出了,以備以後回頭複習時檢驗對知識掌握的牢固程度。

        本節課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.1章節的後半部分和3.2章節的前半部分。