1. 程式人生 > >矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖-線性代數課時11(MIT Linear Algebra , Gilbert Strang)

矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖-線性代數課時11(MIT Linear Algebra , Gilbert Strang)

        這是Strang教授的第十一講,講解的內容是矩矩陣空間(一個新的“向量”空間)的一組基,秩1矩陣的特殊性和小世界圖(small world graphs),小世界圖引出圖論與線性代數的關係。

矩陣空間

        矩陣空間滿足向量空間的定義,對加法和數乘封閉。比如所有的3x3實數矩陣構成一個空間M,3x3對稱矩陣矩陣構成它的一個子空間S,3x3的上三角矩陣同樣構成它的一個子空間U。根據基和維數的定義,可以很輕鬆的確定所有3x3實數矩陣的一組基,從基的個數知道維數是9,M的一組基:

        \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix},...,\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 &0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}

       3x3的對稱矩陣的維數是6,3x3的上三角矩陣的維數也是6,思考一下為什麼是6,從基和維數的概念出發,很容易確定它們的一組基都包含6個矩陣。3x3對稱矩陣的一組基可以取對角線上的3個元素各自為1,其它為0的3個矩陣和對角線上三個元素各自為1並且對應對角線下方的元素也為1,其它元素為0的3個矩陣,構成它的一組基:

         \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0&0 &0 \\ 0& 0 &0 \\ 0&0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0 &1 \\ 0&1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0& 0 &0 \\ 1&0 & 0 \end{bmatrix}

        而3x3的上三角矩陣的一組基更簡單,取上面給出的M的一組基中,1在對角線和對角線之上的6個矩陣就構成了3x3上三角矩陣的一組基:

        \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &1 \\ 0& 0 & 0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 1 & 0\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0 & 1\\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& 0 & 0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}

       矩陣空間是應用廣泛的一類“向量”空間,另外還有一類應用十分廣泛的“向量”空間就是函式空間,線性代數裡只是略作提及,這裡以一個例子介紹一下函式空間以及函式空間的的“基”,下面的線性微分方程:

        d^2y/dx^2+y=0

        上面的線性微分方程的解是這樣一個線性組合:csinx+dcosxcsinx+dcosx是線性微分方程的解空間,它的一組基是sinx,cosx,解空間的維數是基的個數2.

秩1矩陣

        秩1矩陣是一類特殊的矩陣,以下面的例子來說明秩1矩陣的特殊性,有矩陣A:

        A=\begin{bmatrix} 1 &4 &5 \\ 2& 8 &10 \end{bmatrix}

        它可以寫成如下形式:A=uv^T,如下:

        \begin{bmatrix} 1 &4 &5 \\ 2& 8 &10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &4 &5 \end{bmatrix}

        所有的秩1矩陣都可以寫成一個列向量和一個行向量的相乘的形式,對於mxn的秩1矩陣它的行空間是R^n中的一條直線,列空間是R^m中的一條直線,它的零空間是垂直於v的平面,因為u(v^Tx)=0.

小世界圖

        小世界圖引出線性代數和圖論的聯絡,那麼什麼是這裡所指的圖呢?圖是指節點和邊組合成的網路,比如下面是一幅由5個節點和6條邊的組成的圖:

        

        對於上面這樣一幅由5個節點和6條邊構成的圖,可以用一個5x6的矩陣完整的表達圖中的所有資訊,也就是通過5x6的矩陣可以對這樣一幅圖通過線性代數的方式建模,繼而求得人們對這幅圖想要找出的一些解。圖很重要,比如人與人之間的關係可以構成一張圖,網際網路上主機的連結關係可以構成一張巨大的圖,城市之間的可達路徑可以構成一張圖,這些都是有實際意義和應用的圖。通過矩陣的方式表達圖中的所有資訊,表明我們可以通過線性代數的方式來解答這樣的實際問題。

        本節課的內容比較零散,矩陣空間對應的是3.5章節關於線性相關性、基和維數最後一點剩餘的內容,秩1矩陣是3.6章節關於矩陣的4個基本子空間的最後一點剩餘的類容,而小世界圖是8.2章節圖和網路應用的開端。