這是Strang教授的第十一講，講解的內容是矩矩陣空間（一個新的“向量”空間）的一組基，秩1矩陣的特殊性和小世界圖（small world graphs），小世界圖引出圖論與線性代數的關係。

矩陣空間

        矩陣空間滿足向量空間的定義，對加法和數乘封閉。比如所有的3x3實數矩陣構成一個空間M，3x3對稱矩陣矩陣構成它的一個子空間S，3x3的上三角矩陣同樣構成它的一個子空間U。根據基和維數的定義，可以很輕鬆的確定所有3x3實數矩陣的一組基，從基的個數知道維數是9,M的一組基：

       3x3的對稱矩陣的維數是6，3x3的上三角矩陣的維數也是6，思考一下為什麼是6，從基和維數的概念出發，很容易確定它們的一組基都包含6個矩陣。3x3對稱矩陣的一組基可以取對角線上的3個元素各自為1，其它為0的3個矩陣和對角線上三個元素各自為1並且對應對角線下方的元素也為1，其它元素為0的3個矩陣，構成它的一組基：

        而3x3的上三角矩陣的一組基更簡單，取上面給出的M的一組基中，1在對角線和對角線之上的6個矩陣就構成了3x3上三角矩陣的一組基：

       矩陣空間是應用廣泛的一類“向量”空間，另外還有一類應用十分廣泛的“向量”空間就是函式空間，線性代數裡只是略作提及，這裡以一個例子介紹一下函式空間以及函式空間的的“基”，下面的線性微分方程：

        上面的線性微分方程的解是這樣一個線性組合：，是線性微分方程的解空間，它的一組基是,解空間的維數是基的個數2.

秩1矩陣

        秩1矩陣是一類特殊的矩陣，以下面的例子來說明秩1矩陣的特殊性，有矩陣A：

        它可以寫成如下形式：,如下：

        所有的秩1矩陣都可以寫成一個列向量和一個行向量的相乘的形式，對於mxn的秩1矩陣它的行空間是中的一條直線，列空間是中的一條直線，它的零空間是垂直於v的平面，因為.

小世界圖

        小世界圖引出線性代數和圖論的聯絡，那麼什麼是這裡所指的圖呢？圖是指節點和邊組合成的網路，比如下面是一幅由5個節點和6條邊的組成的圖：

        對於上面這樣一幅由5個節點和6條邊構成的圖，可以用一個5x6的矩陣完整的表達圖中的所有資訊，也就是通過5x6的矩陣可以對這樣一幅圖通過線性代數的方式建模，繼而求得人們對這幅圖想要找出的一些解。圖很重要，比如人與人之間的關係可以構成一張圖，網際網路上主機的連結關係可以構成一張巨大的圖，城市之間的可達路徑可以構成一張圖，這些都是有實際意義和應用的圖。通過矩陣的方式表達圖中的所有資訊，表明我們可以通過線性代數的方式來解答這樣的實際問題。

        本節課的內容比較零散，矩陣空間對應的是3.5章節關於線性相關性、基和維數最後一點剩餘的內容，秩1矩陣是3.6章節關於矩陣的4個基本子空間的最後一點剩餘的類容，而小世界圖是8.2章節圖和網路應用的開端。