這裡，我們還是要以 形象理解線性代數（一）——什麼是線性變換？為基礎。矩陣對向量的作用，可以理解為線性變換，同時也可以理解為空間的變換，即（m*n）的矩陣會把一個向量從m維空間變換到n維空間。

一、矩陣的列空間與矩陣的秩以及值域的關係

矩陣的列空間，其實就是矩陣的列所組成的空間。比如我們考慮一個（3*2）的矩陣,他的列空間就是向量和向量所能組成的空間。在這裡，我們有兩個向量，所以矩陣的列秩為2（在兩向量線性不想關的情況下，表現在圖中即兩個向量不共線）。如果共線，那麼向量可以寫成的線性表示，這個時候，這兩個向量所張成的空間只能是一條直線，所以秩變成了1。

一個矩陣中的m和n不能等價於矩陣的秩。矩陣的秩，其實就是矩陣的列空間所張成的空間的維度。

從線性變換的角度理解的值域，其實就是從空間角度理解的矩陣的列空間。

二、矩陣與空間變換

同樣我們考慮上面的矩陣，言外之意就是把二維空間轉化為三維空間。在原二維空間中的一個向量，經過矩陣A變換後，可以寫成：,即向量和向量的線性組合。兩個向量（不共線）只能組成平面，而不能形成一個立方體。也就是說，輸入的定義域是一個二維平面，而輸出（值域）同樣也會是一個平面，只不過這個平面是在三維空間中的一個帶有角度的平面。而這個空間變換的值域，其實就是上面所說的，矩陣的列空間所張成的平面。

三、零空間

零空間是的所張成的空間。如果說除去零空間還存在，那麼就一定意味著空間是被壓縮了的，因為只有壓縮之後才能把一條直線壓縮到零點上。言外之意，矩陣A的列秩不滿，矩陣A的列向量具有線性相關性。

四、矩陣的特徵值和特徵向量

矩陣的特徵值和特徵向量，是對方陣而言，非方陣沒有這個概念。言外之意，就是將n維空間變換到n維空間。

我們來看特徵值和特徵向量的定義，。我們來結合矩陣與空間變換的理解，矩陣對向量的作用，就是相當於把原來的空間變換到新的空間；如果我們用矩陣是線性變換的理解（形象理解線性代數（一）——什麼是線性變換？），那麼說就是對原來的基底的變換。

從空間的角度來理解，對於向量

對於,其實就是相當於B矩陣對向量的作用，使得某個向量壓縮到零點，也就意味著矩陣B非滿秩，也就意味著B的行列式為0。所以我們可以用來求解。