若給定序列X={x1,x2,…,xm}，則另一序列Z={z1,z2,…,zk} 是X的子序列 是指存在一個嚴格遞增下標序列{i1,i2,…,ik}使得對於所有j=1,2,…,k有：zj=xij。

例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相應的遞增下標序列為{2，3，5，7}。

給定2個序列X和Y，當另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列時，稱Z是序列X和Y的公共子序列。

例如，序列X={A，B，C，B，D，A，B}，Y={B，D，C，A，B，A}的子序列，{B，C，A}是X與Y的公共子序列，但不是最長公共子序列；{B，C，B，A}也是X與Y

給定2個序列X={x1,x2,…,xm}和 Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最長公共子序列。

輸入：序列X的長度m，序列Y的長度n；序列X各個元素，序列Y各個元素

輸出：X與Y的最長公共子序列，最長公共子序列的長度。

執行結果:

解法一：窮舉法，列舉出X所有可能的子序列，並檢查它是否也是Y的子序列，從而確定它是否為公共子序列，在此過程中記錄最長的公共子序列

演算法複雜度分析： 2從X中任意取l個元素構成子序列，共有2m種不同子集。     

解法二：嘗試用動態規劃求解

一、 最長公共子序列結構

設序列X = {x1,x2,...xm}和Y= {y1,y2,...yn}的最長公共子序列為Z = {z1,z2,...zk} 則

（1）若Xm = Yn,Zk = Xm = Yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最長公共子序列。

（2）若Xm！=Yn且Zk ！= Xm，則Z是Xm-1和Y的最長公共子序列。（反證法：Z是Xm-1和Y的公共子序列，但不是最長的）

（3）若Xm！=Yn且Zk ！=Yn，則Z是X和Yn-1的最長公共子序列。

2個序列的最長公共子序列包含了它們字首的最長公共子序列。

最長公共子序列問題有最優子結構性質。

二、子問題的遞迴結構

由最優子結構性質建立子問題最優值的遞迴關係

用c[i][j]記錄序列X和Y的最長公共子序列的長度，其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。

當i=0或j=0時，空序列是Xi和Yj的最長公共子序列。故C[i][j]=0。

其他情況下，由最優子結構性質可建立遞迴關係如下。

三、計算最優值

直接利用遞迴式的演算法是指數時間的，由於在所考慮的子問題空間中，總共有θ(mn)（θ是上下界符號）個不同的子問題，因此，用動態規劃演算法自底向上地計算最優值能提高演算法的效率。
b[i][j]記錄c[i][j]是由哪個子問題得到的

void LCSLength(int m, int n, char *x, char *y, int c[][maxn], int b[][maxn])
{
    int i, j;

    c[0][0] = 0;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i <= m; i++)
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i]== y[j])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 1;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 2;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = 3;
            }
        }
}

四、構造最長公共子序列

LCSLength只是計算出最優值，並未給出最優解，然而陣列b可用於快速構造兩個序列的最長公共子序列：

b[i][j]=1時表示Xi和Yj的最長公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最長公共子序列加上xi所得到(斜) ；

b[i][j]=2時表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi-1和Yj的最長公共子序列相同（上） ；

b[i][j]=3時表示Xi和Yj的最長公共子序列與Xi和Yj-1的最長公共子序列相同（左） 。

根據b的內容打印出最長公共子序列

void LCS(int i, int j, char *x, int b[][maxn])
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 1)
    {
        LCS(i-1, j-1, x, b);
        printf("%c ", x[i]);
    }
    else if(b[i][j] == 2)
        LCS(i-1, j, x, b);
    else
        LCS(i, j-1, x, b);
}