https://blog.csdn.net/qq_31881469/article/details/77892324

《1》最長公共子序列（LCS）與最長公共子串(DP)

http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446

https://segmentfault.com/a/1190000007963594

http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2013/05/14/200265.html

1. 問題描述

子串應該比較好理解，至於什麼是子序列，這裡給出一個例子：有兩個母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過並且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblogs,belong），最長公共子串為lo（cnblogs, belong）。

2. 求解演算法

對於母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS與最長公共子串。
暴力解法
假設 m<n， 對於母串X，我們可以暴力找出2的m次方個子序列，然後依次在母串Y中匹配，演算法的時間複雜度會達到指數級O(n∗2的m次)。顯然，暴力求解不太適用於此類問題。
動態規劃
假設Z=<z1,z2,⋯,zk>是X與Y的LCS， 我們觀察到
如果Xm=Yn，則Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1與Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，則Zk是Xm與Yn−1的LCS，或者是Xm−1與Yn的LCS。
因此，求解LCS的問題則變成遞迴求解的兩個子問題。但是，上述的遞迴求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間

  由最長公共子序列問題的最優子結構性質可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最長公共子序列，可按以下方式遞迴地進行：當xm=yn時，找出Xm-1和Yn-1的最長公共子序列，然後在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一個最長公共子序列。當xm≠yn時，必須解兩個子問題，即找出Xm-1和Y的一個最長公共子序列及X和Yn-1的一個最長公共子序列。這兩個公共子序列中較長者即為X和Y的一個最長公共子序列。

在演算法LCS中，每一次的遞迴呼叫使i或j減1，因此演算法的計算時間為O(m+n)。

例如，設所給的兩個序列為X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由演算法LCS_LENGTH和LCS計算出的結果如下圖所示：

程式碼實現

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1. public static int lcs(String str1, String str2) {  
2.     int len1 = str1.length();  
3.     int len2 = str2.length();  
4.     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];  
5.     for (int i = 0; i <= len1; i++) {  
6.         for( int j = 0; j <= len2; j++) {  
7.             if(i == 0 || j == 0) {  
8.                 c[i][j] = 0;  
9.             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {  
10.                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;  
11.             } else {  
12.                 c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);  
13.             }  
14.         }  
15.     }  
16.     return c[len1][len2];  
17. }  

DP求解最長公共子串

前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義陣列的儲存含義對於後面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的陣列定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維陣列c[i][j]用來記錄具有這樣特點的子串——結尾同時也為為串x1x2⋯xi與y1y2⋯yj的結尾——的長度。
得到轉移方程：

最長公共子串的長度為 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
程式碼實現

[cpp] view plain copy

1. public static int lcs(String str1, String str2) {  
2.     int len1 = str1.length();  
3.     int len2 = str2.length();  
4.     int result = 0;     //記錄最長公共子串長度  
5.     int c[][] = new int[len1+1][len2+1];  
6.     for (int i = 0; i <= len1; i++) {  
7.         for( int j = 0; j <= len2; j++) {  
8.             if(i == 0 || j == 0) {  
9.                 c[i][j] = 0;  
10.             } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {  
11.                 c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;  
12.                 result = max(c[i][j], result);  
13.             } else {  
14.                 c[i][j] = 0;  
15.             }  
16.         }  
17.     }  
18.     return result;  
19. }  

3. 參考資料
[1] cs2035, Longest Common Subsequence.
[2] 一線碼農, 經典演算法題每日演練——第四題 最長公共子序列.

[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).