洛谷 P3242 [HNOI2015]接水果 解題報告
P3242 [HNOI2015]接水果
題目描述
風見幽香非常喜歡玩一個叫做 \(osu!\) 的遊戲，其中她最喜歡玩的模式就是接水果。由於她已經\(DT\) \(FC\) 了\(\tt{The\ big\ black}\), 她覺得這個遊戲太簡單了，於是發明了一個更加難的版本。
首先有一個地圖，是一棵由 \(n\) 個頂點、\(n-1\) 條邊組成的樹（例如圖 \(1\) 給出的樹包含 \(8\) 個頂點、\(7\) 條邊）。
這顆樹上有 \(P\) 個盤子，每個盤子實際上是一條路徑（例如圖 \(1\) 中頂點 \(6\) 到頂點 \(8\) 的路徑），並且每個盤子還有一個權值。第 \(i\)
接下來依次會有\(Q\)個水果掉下來，每個水果本質上也是一條路徑，第\(i\) 個水果是從頂點 \(u_i\) 到頂點\(v_i\) 的路徑。
幽香每次需要選擇一個盤子去接當前的水果：一個盤子能接住一個水果，當且僅當盤子的路徑是水果的路徑的子路徑（例如圖\(1\)中從 \(3\)到\(7\) 的路徑是從\(1\)到\(8\)的路徑的子路徑）。這裏規定:從 \(a\) 到\(b\)的路徑與從\(b\)到 \(a\)的路徑是同一條路徑。
當然為了提高難度，對於第 \(i\)
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行三個數 \(n\)和\(P\) 和\(Q\)，表示樹的大小和盤子的個數和水果的個數。
接下來\(n-1\) 行，每行兩個數 \(a\)、\(b\)，表示樹上的\(a\)和\(b\)之間有一條邊。樹中頂點按\(1\)到\(n\)標號。
接下來 \(P\) 行，每行三個數 \(a\)、\(b\)、\(c\)，表示路徑為 \(a\)
接下來\(Q\)行，每行三個數 \(u\)、\(v\)、\(k\)，表示路徑為\(u\)到\(v\)的水果，其中\(u\)不等於\(v\)，你需要選擇第\(k\)小的盤子，第\(k\)小一定存在。
輸出格式：
對於每個果子，輸出一行表示選擇的盤子的權值。
說明
\(N,P,Q\le 40000\)。
細節真多\(\tt{XD}\)
考慮如何處理路徑包含關系。
設被包含的路徑為\((u,v)\),要去包含\(\tt{Ta}\)的路徑為\((s,t)\),\(dfn_x\)和\(low_x\)分別表示\(x\)的\(dfs\)序和\(\tt{Ta}\)子樹的\(dfs\)序末尾。
這裏需要維護路徑二元組的有序性，我們令前一維的點的\(dfs\)序更小。
對被包含的路徑進行分類討論
若\(lca(u,v)=u\)
設\(w\)為\(u\)的第一個兒子且\(w\)為\(v\)的祖先
那麽若滿足包含關系，需滿足
\(dfn_v \le dfn_t \le low_v\)且\(1 \le dfs_s \le dfn_w -1\)
或者\(low_w+1\le dfn_s \le n\)且\(dfn_v \le dfn_t \le low_v\)
（這裏順序是個小細節）
若\(lca(u,v)\not=u\)
則需要滿足\(dfn_v\le dfn_s \le low_v\)且\(dfn_u \le dfn_t \le low_t\)
發現可以把限制條件轉換到二維數點之類的問題。
具體的，可以把被包含的路徑（盤子）轉換成矩形，包含別人的路徑（水果）轉換成點。
那麽問題就轉化成了包含某個點的矩形的第\(k\)小值。
我們可以整體二分，內部的問題是某個點被多少個矩形包含，可以使用掃描線求解。
這裏掃描線差分一下用樹狀數組就可以了。
Code:
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
const int N=40010;
int Next[N<<1],to[N<<1],head[N],cnt;
void add(int u,int v)
{
to[++cnt]=v,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
int read()
{
char c=getchar();int x=0;
while(!isdigit(c)) c=getchar();
while(isdigit(c)) {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x;
}
int dep[N],f[N][17],dfn[N],low[N],dfsclock;
int n,m,Q,ans[N];
void dfs(int now)
{
dfn[now]=++dfsclock;
for(int i=1;f[now][i-1];i++) f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
for(int i=head[now];i;i=Next[i])
{
int v=to[i];
if(v==f[now][0]) continue;
dep[v]=dep[now]+1;
f[v][0]=now;
dfs(v);
}
low[now]=dfsclock;
}
int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y]) return LCA(y,x);
for(int i=16;~i;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
x=f[x][i];
if(x==y) return x;
for(int i=16;~i;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])
x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
int get(int x,int y)
{
for(int i=16;~i;i--)
if(dep[f[x][i]]>dep[y])
x=f[x][i];
return x;
}
struct node
{
int op,x,l,r,k,d;//盤子，大的做x，區間，權值，線的性質
//第幾個水果，橫，縱，留空，第k小，留空
node(){}
node(int op,int x,int l,int r,int k,int d){this->op=op,this->x=x,this->l=l,this->r=r,this->k=k,this->d=d;}
bool friend operator <(node n1,node n2)
{
if(n1.x==n2.x)//先盤子，再水果，盤子中先取消失線
return n1.op==n2.op?n1.d<n2.d:n1.op<n2.op;
return n1.x<n2.x;
}
}q[N<<3],ql[N<<3],qr[N<<3];
int S[N],tmp;
void Swap(int &x,int &y){tmp=x,x=y,y=tmp;}
void change(int x,int d){while(x<=n)S[x]+=d,x+=x&-x;}
int query(int x){int sum=0;while(x)sum+=S[x],x-=x&-x;return sum;}
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
void divide(int l,int r,int s,int t)
{
if(s>t) return;
if(l==r){rep(i,s,t)ans[q[i].op]=l;return;}
int mid=l+r>>1,lp=0,rp=0;
rep(i,s,t)
{
if(q[i].op)
{
int c=query(q[i].l);
if(c>=q[i].k) ql[++lp]=q[i];
else qr[++rp]=q[i],qr[rp].k-=c;
}
else
{
if(q[i].k<=mid) change(q[i].l,q[i].d),change(q[i].r+1,-q[i].d),ql[++lp]=q[i];
else qr[++rp]=q[i];
}
}
rep(i,s,t) if(!q[i].op&&q[i].k<=mid) change(q[i].l,-q[i].d),change(q[i].r+1,q[i].d);
rep(i,s,s+lp-1) q[i]=ql[i+1-s];
rep(i,s+lp,t) q[i]=qr[i+1-s-lp];
divide(l,mid,s,s+lp-1),divide(mid+1,r,s+lp,t);
}
int main()
{
n=read(),m=read(),Q=read();
int u,v,k,w,lca,t=0;rep(i,1,(n-1))u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u);
dep[1]=1,dfs(1);
rep(i,1,m)
{
u=read(),v=read(),k=read();
if(dfn[u]>dfn[v]) Swap(u,v);
lca=LCA(u,v);
if(lca==u)
{
w=get(v,u);
q[++t]=node(0,1,dfn[v],low[v],k,1);
q[++t]=node(0,dfn[w],dfn[v],low[v],k,-1);
q[++t]=node(0,dfn[v],low[w]+1,n,k,1);
q[++t]=node(0,low[v]+1,low[w]+1,n,k,-1);
}
else
{
q[++t]=node(0,dfn[u],dfn[v],low[v],k,1);
q[++t]=node(0,low[u]+1,dfn[v],low[v],k,-1);
}
}
rep(i,1,Q)
{
q[++t].x=dfn[read()],q[t].l=dfn[read()],q[t].k=read(),q[t].op=i;
if(q[t].x>q[t].l) Swap(q[t].x,q[t].l);
}
std::sort(q+1,q+1+t);
divide(0,(int)(1e9),1,t);
rep(i,1,Q) printf("%d\n",ans[i]);
return 0;
}2018.11.4
洛谷 P3242 [HNOI2015]接水果 解題報告