洛谷 P2466 Sue的小球 解題報告
P2466 [SDOI2008]Sue的小球
題目描述
Sue和Sandy最近迷上了一個電腦遊戲，這個遊戲的故事發在美麗神秘並且充滿刺激的大海上，Sue有一支輕便小巧的小船。然而，Sue的目標並不是當一個海盜，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一個秘密武器，只要她將小船劃到一個彩蛋的正下方，然後使用秘密武器便可以在瞬間收集到這個彩蛋。然而，彩蛋有一個魅力值，這個魅力值會隨著彩蛋在空中降落的時間而降低，Sue要想得到更多的分數，必須盡量在魅力值高的時候收集這個彩蛋，而如果一個彩蛋掉入海中，它的魅力值將會變成一個負數，但這並不影響Sue的興趣，因為每一個彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。
然而Sandy就沒有Sue那麽浪漫了，Sandy希望得到盡可能多的分數，為了解決這個問題，他先將這個遊戲抽象成了如下模型：
以Sue的初始位置所在水平面作為\(x\)軸。
一開始空中有\(N\)個彩蛋，對於第\(i\)個彩蛋，他的初始位置用整數坐標\((xi, yi)\)表示，遊戲開始後，它勻速沿\(y\)軸負方向下落,速度為\(v_i\)單位距離/單位時間。Sue的初始位置為\((x0, 0)\)，Sue可以沿x軸的正方向或負方向移動，Sue的移動速度是1單位距離/單位時間，使用秘密武器得到一個彩蛋是瞬間的，得分為當前彩蛋的\(y\)坐標的千分之一。
現在，Sue和Sandy請你來幫忙，為了滿足Sue和Sandy各自的目標，你決定在收集到所有彩蛋的基礎上，得到的分數最高。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行為兩個整數\(N\)
第二行為\(N\)個整數\(x_i\)，每兩個數用一個空格分隔，第\(i\)個數表示第\(i\)個彩蛋的初始橫坐標。
第三行為\(N\)個整數\(y_i\)，每兩個數用一個空格分隔，第\(i\)個數表示第\(i\)個彩蛋的初始縱坐標。
第四行為\(N\)個整數\(v_i\)，每兩個數用一個空格分隔，第\(i\)個數表示第\(i\)個彩蛋勻速沿\(y\)軸負方向下落的的速度。
輸出格式：
一個實數，保留三位小數，為收集所有彩蛋的基礎上，可以得到最高的分數。
說明
對於30%的數據，\(N<=20\)。
對於60%的數據，\(N<=100\)
對於100%的數據，\(-10^4 <= xi,yi,vi <= 10^4，N < = 1000\)
從暴力開始
我們發現，對於當前時間所處的每一個位置，我們有且僅有兩個選擇（即向左或向右）
30分到手，\(O(2^N)\)的復雜度。
既然有向左或向右的選擇，很容易聯想到DP上去啊。
令\(dp[i][j]\)代表已經處理左端為\(i\)號彩蛋和右端為\(j\)號彩蛋時的區間所產生的最大分數。
試試寫轉移的話，我們會發現兩個問題。
對於當前位置的信息我們需要存儲一下，也就是在左端點還是右端點，多開一維維護即可。
對於彩蛋的分數，是和時間掛鉤的，如果想完整的求解，得把時間壓進去啊。
時間壓進去肯定爆了有沒有別的辦法呢？
當然有，每一個點的最終得分其實不就等於 它的初始得分 減去 它的損失分 嗎
我們嘗試維護這樣一個損失分的最小值。
對於 每一段轉移的時候 我們都能求出 這段時間內 還沒有得到的彩蛋的分的 損失值
\(dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(t[i+1].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]),\)
\(dp[i+1][j][1]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]));\)
\(dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]),\)
\(dp[i][j-1][1]+(t[j].x-t[j-1].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]));\)
其中，\(sumv[i]\)維護的是速度的前綴和數組。
code:
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=1002;
double x0,sumv[N],sumy;
int n;
double dp[N][N][2];
double abs(double x) {return x>0?x:-x;}
struct node
{
double x,y,v;
bool friend operator <(node n1,node n2)
{
return n1.x<n2.x;
}
}t[N];
int main()
{
scanf("%d%lf",&n,&x0);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=1e300;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&t[i].x);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lf",&t[i].y);
sumy+=t[i].y;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lf",&t[i].v);
sort(t+1,t+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++)
sumv[i]=sumv[i-1]+t[i].v;
for(int i=1;i<=n;i++)
dp[i][i][0]=dp[i][i][1]=(abs(t[i].x-x0))*sumv[n];
for(int i=n-1;i>=1;i--)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(t[i+1].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]),
dp[i+1][j][1]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i]+sumv[n]-sumv[j]));
dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][0]+(t[j].x-t[i].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]),
dp[i][j-1][1]+(t[j].x-t[j-1].x)*(sumv[i-1]+sumv[n]-sumv[j-1]));
}
printf("%.3lf\n",(sumy-min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]))/1000.0);
return 0;
}我居然又在離散化（排序）之前求了\(sumv\)，還找了許久的錯啊。。。
丟人。。
2018.5.21
洛谷 P2466 Sue的小球 解題報告