【題意】給定n個人的ai和bi，表示第i個人能力值為ai且不能和bi同時選擇，求能力值和最大的選擇方案。n<=10^6。

【算法】環套樹DP（基環樹）

【題解】n個點n條邊——基環森林（若幹環套樹子圖）。

若原圖是樹，經典DP做法：f[i][0/1]表示i點選或不選的最大能力值和，則f[i][0]=Σmax{f[j][0],f[j][1]}，f[i][1]=Σf[j][0]+a[i]，j=son[i]。

找環：dfs到訪問過的點，標記環上的一條邊。

破環：和普通樹上DP唯一的區別是，標記邊兩端不能同時為1，所以從兩端AB開始分別進行一次樹形DP，最後ans=max{f[A][0],f[B][0]}（這兩個f[]是兩次分別計算的結果）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1000010;
int n,tot,first[maxn],A,B,a[maxn];
ll f[maxn][2];
bool vis[maxn],d[maxn*2];
struct edge{int v,from;}e[maxn*2];
void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from
 
=first[u];first[u]=tot;}
void dfs(int x,int fa){
    vis[x]=1;
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from)if(e[i].v!=fa){
        if(vis[e[i].v]){A=x;B=e[i].v;d[i]=d[i^1]=1;}
        else dfs(e[i].v,x);
    }
}
void dp(int x,int fa){
    //printf("x=%d\n",x);
    f[x][0]=0;f[x][1]=a[x];
    for(int i=first[x];i;i=e[i].from
 
)if(e[i].v!=fa&&!d[i]){
        //printf("y=%d\n",e[i].v);
        dp(e[i].v,x);
        //printf("[%lld]\n",f[e[i].v][1]);
        f[x][0]+=max(f[e[i].v][0],f[e[i].v][1]);
        f[x][1]+=f[e[i].v][0];
    }
    //printf("%lld %lld\n",f[x][0],f[x][1]);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int v;tot=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&a[i],&v);
        insert(i,v);insert(v,i);
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]){
        dfs(i,0);
        dp(A,0);
        ll sum=f[A][0];
        dp(B,0);
        ans+=max(f[B][0],sum);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

【BZOJ】1040: [ZJOI2008]騎士 環套樹DP