矩陣博弈中的混合策略求解
我們已經看到, 矩陣博弈可能沒有鞍點或純策略納什均衡。然而, 當我們允許混合策略時, 均衡必定存在。令 \(x=\left(x_1, \cdots, x_m\right)\) 表示行參與人的混合策略, \(y=\left(y_1, \cdots, y_n\right)\) 為列參與人的混合策略。注意, \(a_{i j}\) 是當行參與人以概率 1 選擇第 \(i\) 行且列參與人以概率 1 選擇第 \(j\) 列時行參與人的收益。此時, 列參與人的收益為 \(-a_{i j}\) 。在伴隨上述混合策略 \(x\) 和 \(y\) 的情形下, 行參與人的期望收益:
\[=u_1(x, y)=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_i y_j a_{i j}=x A y
\]
其中 \(x=\left(x_1, \cdots, x_m\right) ; y=\left(y_1, \cdots, y_n\right) ; A=\left[a_{i j}\right]\) 。在上面的表示式中, 我們稍微 濫用了符號, 因為我們本來應該用向量 \(y\) 的轉置 (即 \(y^{\mathrm{T}}\) ) 但用了 \(y\) 本身 (出於簡單目 的, 我們在本章都這麼做, 因為這不會導致混淆)。此時, 列參與人的期望收益 為 \(-x A y\) 。當行參與人選擇 \(x\) 時, 他保證自己的期望收益為
\[\min _{y \in \Delta\left(S_2\right)} x A y
\]
因此, 行參與人應該選擇使得上述收益最大的混合策略 \(x\) 。也就是說, 他應該選擇 \(x\) 使得
\[\max _{x \in \Delta\left(S_1\right) y \in \Delta\left(S_2\right)} \min _x x A y
\]
換句話說, 行參與人的最優策略是最大最小化 (maxminimization) 策略。注意, 這裡 隱含地假設不管行參與人怎麼選擇, 列參與交與都會選擇對他（行參與人）最不利的策略。行參與人在這樣的背景下選擇最優策略。行參與人選擇的這種策略也稱為行參與人的安全策略。
類似地, 當列參與人選擇 \(y\) 時，他保證自己的收益
\[\begin{aligned}
& =\min _{x \in \Delta\left(S_{1}\right)}-x A y \\
& =-\max _{x \in \Delta\left(S_{1}\right)} x A y
\end{aligned}
\]
也就是說, 列參與人保證自己的損失不超過
\[\max _{x \in \Delta\left(S_{1}\right)} x A y
\]
列參與人的最優策略應該使這個損失最小， 即
\[\min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right) x \in \Delta\left(S_{1}\right)} \max x A y
\]
這稱為最小最大化 (minmaximization)。列參與人的這種策略也稱為列參與人的安全 策略。
我們現在陳述和證明一個重要引理, 它斷言若行參與人選擇 \(x\), 則在列參與人的最 優反應策略 \(y\) 中至少存在一個純策略。
引理 \(9.1\)
給定矩陣博戀 \(A\) 以及混合策略 \(x=\left(x_{1}, \cdots, x_{m}\right)\) 和 \(y=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)\),
\[\min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right)} x A y=\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
證明：對於給定的 \(j\),
\[ \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
這個加和給出了當行參與人選擇 \(x=\left(x_{1}, \cdots, x_{m}\right)\) 且列參與人選擇純策略 \(j\) 時, 行參 與人的收益。因此,
\[\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
給出了當行參與人選擇 \(x\) 但列參與人能自由選擇任何純策略時行參與人的最小收益。由 於純策略是混合策略的一種特殊情形, 我們有
\[\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \geqslant \min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right)} x A y
\]
另一方面,
\[x A y=\sum_{j=1}^{n} y_{j}\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}\right) \geqslant \sum_{j=1}^{n} y_{j}\left(\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}\right)=\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}\left(\text { 因為 } \sum_{j=1}^{n} y_{j}=1\right. \text { ) }
\]
因此, 我們有:
\[x A y \geqslant \min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \quad \forall x \in \Delta\left(S_{1}\right), \forall y \in \Delta\left(S_{2}\right)
\]
這意味著
\[\min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right)} x A y \geqslant \min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
根據式 \((9.1)\) 和式 \((9.2)\), 我們有
\[\min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right)} x A y=\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
這樣, 我們就完成了這個引理的證明。
作為上面引理的一個直接推論, 可以證明
\[\max _{x \in \Delta\left(S_{1}\right)} x A y=\max _{i} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} y_{j}
\]
使用上面的結果, 我們可以將行參與人以及列參與人的最優化問題描述如下。
行參與人的最優化問題 (最大最小化)
行參與人面對的最優化問題可以表示為
\[\max \min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}
\]
s. t.
\[\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{m} x_{i}=1 \\
& x_{i} \geqslant 0, i=1, \cdots, m
\end{aligned}
\]
將上面這個問題稱為問題 \(P_{1}\) 。注意, 這個問題可以簡練地表示為
\[\max _{x \in \Delta\left(S_{1}\right)} \min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right)} x A y_{\circ}
\]
列參與人的最優化問題 (最小最大化)
列參與人面對的最優化問題可以表示為
\[\begin{aligned}
& \min \max _{i} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} y_{j} \\
& \text { s. t. } \\
& \qquad \sum_{j=1}^{n} y_{j}=1 \\
& y_{j} \geqslant 0, j=1, \cdots, n
\end{aligned}
\]
將上面的問題稱為問題 \(P_{2}\) 。注意, 這個問題可以簡練地寫為
\[\min _{y \in \Delta\left(S_{2}\right) x \in \Delta\left(S_{1}\right)} \max x A y
\]
下列命題說明問題 \(P_{1}\) 和 \(P_{2}\) 分別等價於適當的線性規劃 (linear program, LP)。
命題 \(9.3\)
問題 \(P_{1}\) 等價於下列線性規劃 (我們將其稱為線性規劃 \(L P_{1}\) ):
\[\begin{aligned}
& \max z \\
& \text { s. } t \text {. } \\
& z-\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \leqslant 0, j=1, \cdots, n \\
& \sum_{i=1}^{m} x_{i}=1 \\
& x_{i} \geqslant 0, i=1, \cdots, m
\end{aligned}
\]
證明： 注意, \(P_{1}\) 是一個最大化問題, 因此, 我們考察約束條件
\[z-\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \leqslant 0, j=1, \cdots, n
\]
任何最優解 \(\left(z^{*}, x^{*}\right)\) 將滿足上述 \(n\) 個不等式中的一個。也就是,
\[z^{*}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}^{*} \quad \text { 對於某個 } j \in\{1, \cdots, n\}
\]
令 \(j^{*}\) 就是滿足上式的 \(j\) 值。於是
\[z^{*}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j}{ }^{*} x_{i}^{*}
\]
由於 \(z^{*}\) 是線性規劃 \(L P_{1}\) 的一個可行解, 我們有
\[\sum_{i=1}^{m} a_{i j}{ }^{*} x_{i}^{*} \leqslant \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}^{*} \quad \forall j=1, \cdots, n
\]
這意味著
\[\sum_{i=1}^{m} a_{i j}{ }^{*} x_{i}^{*}=\min _{j} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i}^{*}
\]
如若不然, 我們有
\[z^{*}<\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \quad \forall j=1, \cdots, n
\]
因此, 下列兩個線性規劃分別描述了行參與人與列參與人面對的最優化問題。
行參與人的線性規劃 \(\left(L P_{1}\right)\)
\[\begin{aligned}
\max z \\
& \text { s. t. } \\
& z-\sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} \leqslant 0, j=1, \cdots, n \\
& \sum_{i=1}^{m} x_{i} \doteq 1 \\
& x_{i} \geqslant 0 \quad \forall i=1, \cdots, m
\end{aligned}
\]
列參與人的線性規劃 \(\left(\boldsymbol{L P _ { 2 }}\right)\)
\[\begin{aligned}
\min w \\
& \text { s. t. } \\
& w-\sum_{j=1}^{n} a_{i j} y_{j} \geqslant 0, i=1, \cdots, m \\
& \sum_{j=1}^{n} y_{j}=1 \\
& y_{j} \geqslant 0 \quad \forall j=1, \cdots, n
\end{aligned}
\]
例 \(9.8\) (石頭剪刀布博弈)
對於石頭剪刀布博弈, 回憶一下, 行參與人的收益矩 陣為
\[A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array}\right]
\]
行參與人的最優化問題 \(P_{1}\) 為:
\[
\]
\[\begin{aligned}
& \max \min \left\{x_{2}-x_{3},-x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}\right\} \\
& \text { s. t. } \\
& x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\
& x_{1} \geqslant 0 ; x_{2} \geqslant 0 ; x_{3} \geqslant 0
\end{aligned}
\]
上面的這個問題等價於線性規劃 \(L P_{1}\) :
\[\begin{aligned}
& \max z \\
& \text { s. t. } \\
& z \leqslant x_{2}-x_{3} ; z \leqslant-x_{1}+x_{3} ; z \leqslant x_{1}-x_{2} \\
& x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 ; x_{1} \geqslant 0 ; x_{2} \geqslant 0 ; x_{3} \geqslant 0
\end{aligned}
\]
列參與人的最優化問題 \(P_{2}\) 為
\[\min \max \left\{-y_{2}+y_{3}, y_{1}-y_{3},-y_{1}+y_{2}\right\}
\]
s. t.
\[\begin{aligned}
& y_{1}+y_{2}+y_{3}=1 \\
& y_{1} \geqslant 0 ; y_{2} \geqslant 0 ; y_{3} \geqslant 0
\end{aligned}
\]
上面這個問題等價於線性規劃 \(L P_{2}\) :
\[\text { minwe }
\]
s. t.
\[\begin{aligned}
& w \geqslant-y_{2}+y_{3} ; w \geqslant y_{1}-y_{3} ; w \geqslant-y_{1}+y_{2} \\
& y_{1}+y_{2}+y_{3}=1 ; y_{1} \geqslant 0 ; y_{2} \geqslant 0 ; y_{3} \geqslant 0
\end{aligned}
\]
上面的線性規劃問題使我們能夠計算混合策略均衡。
參考文獻
博弈論與機制設計
Game Theory and Mechanism Design Y.Narahari
