曲線積分：使用格林公式計算
簡單理論基礎
格林公式
\[\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y \]定理1：
設
閉區域D由分段光滑的曲線L圍成，若函式P(x,y)和Q(x,y)在有界閉區域D上有一階連續偏導數，則
其中L為區域D的邊界曲線，併為正方向，這個式子就是格林公式
右邊的式子帶小圓圈代表L曲線是閉合的
什麼是正方向？請看下面
D的正方向
用一張圖模擬一間教室，藍色的X是學生，你要在保證學生始終在左手邊的情況下繞著邊界走一圈，走的方向，就是區域D的正方向。
因此，假設區域D是一個圓，在外環，D的正方向是逆向的，在內環，正方向是正向的。如圖，紅色箭頭就是正方向
路徑無關條件
這是解題中可能會用到的非常簡便的技巧，那麼，什麼是路徑無關？
若有曲線積分I
其中，L為紅線
若P、Q若滿足\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}\),那麼積分結果就與路徑無關
這就意味著關於曲線L的積分就可以轉化成關於OA的積分，只要到達目的地，就不用在乎路徑。
該曲線積分就可以轉化成以下形式:
\[I=\oint_{L} P d x+Q d y=\oint_{O A} P d x+Q d y \]我們可以利用該性質,將複雜的曲線路徑轉化成多條線段路徑,這樣能很高效的解決問題,因為線段是很容易求的.
這裡積分符號有些問題,帶小圓圈代表L是閉合的,但這裡影象沒有閉合,請大家忽略這個小圓圈
\[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (x,y)屬於G \]定理2：設G是單連通區域，P、Q在G內有一階連續偏導數，且\(L \subset G\)。
則，曲線積分\(\int_{L} P d x+Q d y\)在G內路徑無關或沿著G內任意閉曲線的積分為0（起點是A，終點也是A，不考慮路徑積分不就是0了嘛）的充要條件是
計算面積
L為D的正向邊界曲線，D的面積是：
相關計算題：
1. 極座標系計算
說明：
將xy轉化為極座標的形式 ,應謹記 \(d x d y=\rho d \rho\), \(x=r*cos,y=r*sin\)
題目：
求：
\[\oint_{L} x^{2} y d x-x y^{2} d y \]其中L為\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)
在這道題中，顯然L是一個圓
因此用極座標求解是非常方便的
先求出P、Q和其偏導
使用格林公式得出二重積分：
\[\iint_{D} \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} d x d y=\iint_{D}-y^{2}-x^{2} d x d y \]我們用極座標來求這個二重積分，應牢記在這裡xy的轉化：
\[\left\{\begin{array}{l} x=p \cos \theta \\ y=p \sin \theta \end{array}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi\right. \] \[d x d y=\rho d \rho \]將極座標帶入進去，因為\(\theta \in[0,2 \pi], \rho \in[0, a]\)，所以這個二重積分就是：
\[\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{a}\left(-\rho^{2} \sin ^{2} \theta-\rho^{2} \cos ^{2} \theta\right) \rho d \rho \]正常求解即可，最終答案是\(-2 \pi \cdot \frac{a^{4}}{4}\)
2. 直角座標系計算
方法:
利用題目中的\(\oint_{L} p d x+Q dy\) 得出出\(\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y\) , 在根據影象求曲線積分
題目:
設L是由曲線 \(y^{3}=x^{2}\) 與直線 \(y=x\) 圍成的正向閉曲線, 計算\(\oint_{L} x^{2} y d x+y^{2} d y\)
解析:
題目中的L如圖:,
求出P,Q與其偏導
\[\begin{aligned} &P=x^{2} y, \quad Q=y^{2} \\ &\frac{\partial p}{\partial y}=x^{2}, \frac{\partial Q}{\partial x}=0 \end{aligned} \]根據格林公式得二重積分:
\[\iint_{D}-x^{2} d x d y \]在區域D中,x,y滿足:
\[\left\{\begin{array}{l} x: 0 \rightarrow 1 \\ \end{array},\left\{\begin{array}{l} y1: \varphi_{1}(x)=x^{\frac{2}{3}} \\ y2: \varphi_{2}(x)=x \end{array}\right.\right. \]所以二重積分是
\[\iint_{D}-x^{2} d x d y=\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{x^{\frac{2}{3}}}-x^{2} d y \]最終答案:\(-\frac{1}{44}\)
3.路徑無關
這類題一般給出一個曲線，我們證明出\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial y}\)後，就可以把曲線拆成線段，然後按正方向求線段就可以了。如果L區域是閉合的，那就直接等於0了，畢竟起點和終點都一樣嘛。
題目： 計算曲線積分\(\int_{L} 2 x y d x+x^{2} d y\)，其中，L為拋物線\(y=\frac{1}{4} x^{2}\)上從(0,0)到(2.1)的一段弧線
解析：
總要求\(\frac{\partial P}{\partial y} \frac{\partial Q}{\partial x}\)這倆式子的, 比較下他倆是否相等, 這道題中是相等的, 把曲線按正方向轉化為多個線段(只要起點終點一樣且正方向就行),然後求線段的積分
解題：
將曲線L按正方向轉換成OA+AB, 即是:
看得出OA,OB的方向是
然後帶入進曲線積分, 求解得最終結果
\[\int_{L}=0+\int_{0}^{1} 4 d y=4 \]4. 需逆向轉化求解
求解這個式子：
\[\iint_{D} e^{-y^{2}} d x d y \]其中，D的區域如圖, 紅色箭頭為D的正方向:
說明:
這道題給出了一個二重積分，並且，區域D是沒辦法用一個函式表示出來的, 因此我們沒辦法用二重積分解題.
所以就想辦法逆推出P,Q, 將這個二重積分轉化為曲線積分,利用曲線積分可拆的性質就可得到答案
解：
先把二重積分轉化為格林公式
怎麼確定P和Q，這個其實是最大的難點，只能跟著感覺猜了,猜\(\frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}\)分別都是啥,然後求積分得出PQ
\[\begin{array}{l} \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{-y^{2}} \quad, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=0\\ Q=\int \frac{\partial Q}{\partial x}=x e^{-y^{2}}, P=0 \end{array} \]把推出的Q、P帶入進格林公式得
\[\begin{aligned} & \iint_{D} x e^{-y 2} d x d y=\iint_{D A}+\iint_{A B}+\iint_{B O} \\ =& \iint_{O A} x e^{-y 2} d x d y=\iint_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} x e^{-y} d y \end{aligned} \]解二重積分就行了，最終答案是:\(\frac{1}{2}\left\langle 1-\frac{1}{e}\right\rangle\)