H. Sort the Strings Revision (笛卡爾樹)

阿新 • • 發佈：2020-07-24

題意：
一個s串滿足s[i] = i % 10,給出p,d陣列的構造方法，每次將s串p[i]位換成d[i], 總共得到n + 1個串，對它們進行排名。第i次操作後的排名為r[i];
輸出 $(\sum_{i=0}^{n}(r_{i}*10000019^{i}))\%(1e9+7)$
題解：
- 很關鍵的一點是p[]是一個排列，所以對s串每一位只修改一次。我們從低位到高位去修改，如果修改p[i]位要變成的數小於該位原來的數(p[i]%10>d[i])，那麼修改p[i]之後位得到的的串字典序一定小於修改p[i]前得到的字串。所以可以用這一次修改將字串排名分成兩類，一類佔字典序大的部分，一類佔字典序小的部分。再繼續分治對每個部分用其P[i]最小的位進行劃分。一直劃分下去就能得到所有的排名。
- 關鍵是當劃分成兩部分後怎麼快速確定這個處理區間的最小值位置，RMQ問題。這裡可以用O(n)的笛卡爾樹來處理。笛卡爾樹根節點是整個區間最小值的位置。左子節點是最小位置左邊區間的最小值的位置，右子節點是最小值右邊區間最小值所在位置。
- 分治時，如果 $p[i]\%10>d[i]$ , 其中i是當前區間最小值所在位置，那麼其左邊的區間操作形成的字串rk+右邊個數(佔rk高位)。右邊不影響(佔rk低位)
```
 dfs(ls[index], l, index, rank + (p[index] % 10 > d[index]) * (r - index));
```
- 如果 $p[i]\%10<d[i]$
  
  那i右邊區間操作形成的字串rk+左邊個數(佔rk高位)，左邊不受影響(佔rk低位)
```
dfs(rs[index], index + 1, r, rank + (p[index] % 10 < d[index]) * (index - l + 1));
```
- 如果 $p[i]\%10=d[i]$ 時，這一位操作不會影響任何其他位的rk, 一個技巧，讓p[i]=INF, 這樣這一位就在迪卡爾樹的葉子節點上，最後處理時直接確定rk就行。同時如果處理到邊界，及葉子節點，說明這個操作處理這個區間的所能處理的最高位，能影響它的低位都處理了，根據前面的rk累計可以直接確定其rk。
```
if(p[index] == INF || l >= r) {
   for(int i = l; i <= r; ++ i) rk[i] = rank + (i - l);
   return;
}
 
```

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e6+10;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll INF = 1 << 30;
//

int T, n;
ll p[N], d[N];
int rk[N];
int ls[N], rs[N];
int st[N], top;

void Build() 
{
	st[0]=0;
	for(int i=0;i<n;i++){
        int k=st[0];
        while(k>0&&p[st[k]]>p[i]) k--;
        if(k) rs[st[k]]=i;
        if(k<st[0]) ls[i]=st[k+1];
        st[++k]=i; st[0]=k;
    }
}

void dfs(int index, int l, int r, int rank){
    if(p[index] == INF || l >= r) {
        for(int i = l; i <= r; ++ i) rk[i] = rank + (i - l);
        return;
    }
    dfs(ls[index], l, index, rank + (p[index] % 10 > d[index]) * (r - index));
    dfs(rs[index], index + 1, r, rank + (p[index] % 10 < d[index]) * (index - l + 1));
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T --){
        scanf("%d",&n);
        ll pseed, pa, pb, pmod;
        ll dseed, da, db, dmod;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&pseed, &pa, &pb, &pmod);
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&dseed, &da, &db, &dmod);

        for(int i = 0; i < n; ++ i) p[i] = i;
        for(int i = 1; i < n; ++ i){
            swap(p[pseed % (i + 1)], p[i]);
            pseed = (1ll * pseed * pa % pmod + 1ll * pb) % pmod;
        }
        for(int i = 0; i < n; ++ i){
            d[i] = dseed % 10;
            dseed = (1ll * dseed * da % dmod + 1ll * db) % dmod;
            if(p[i] % 10 == d[i]) p[i] = INF;
        }
        Build();
        for(int i = 0; i <= n; ++ i) rk[i] = 0;
        dfs(st[1], 0, n, 0);
        ll res = 0, temp = 1;
        for(int i = 0; i <= n; ++ i){
            res = (res + 1ll * rk[i] * temp % mod) % mod;
            temp = temp * 10000019ll % mod;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}