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tarjan演算法——求無向圖的割點和橋

一.基本概念

1.橋:是存在於無向圖中的這樣的一條邊,如果去掉這一條邊,那麼整張無向圖會分為兩部分,這樣的一條邊稱為橋無向連通圖中,如果刪除某邊後,圖變成不連通,則稱該邊為橋。
2.割點:無向連通圖中,如果刪除某點後,圖變成不連通,則稱該點為割點。

二:tarjan演算法在求橋和割點中的應用

1.割點:
1)當前節點為樹根的時候,條件是“要有多餘一棵子樹”(如果這有一顆子樹,去掉這個點也沒有影響,如果有兩顆子樹,去掉這點,兩顆子樹就不連通了。)
2)當前節點U不是樹根的時候,條件是“low[v]>=dfn[u]”,也就是在u之後遍歷的點,能夠向上翻,最多到u,如果能翻到u的上方,那就有環了,去掉u之後,圖仍然連通。 保證v向上最多翻到u才可以
2.橋:若是一條無向邊(u,v)是橋,
1)當且僅當無向邊(u,v)是樹枝邊的時候,需要滿足dfn(u)<low(v),也就是v向上翻不到u及其以上的點,那麼u–v之間一定能夠有1條或者多條邊不能刪去,因為他們之間有一部分無環,是橋。
如果v能上翻到u那麼u–v就是一個環,刪除其中一條路徑後,能然是連通的。
3.注意點:
1)求橋的時候:因為邊是無方向的,所以父親孩子節點的關係需要自己規定一下,
在tarjan的過程中if(v不是u的父節點) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
因為如果v是u的父親,那麼這條無向邊就被誤認為是環了。
2)找橋的時候:注意看看有沒有重邊,有重邊的邊一定不是橋,也要避免誤判。
4.也可以先進行tarjan(),求出每一個點的dfn和low,並記錄dfs過程中的每個點的父節點,遍歷所有點的low,dfn來尋找橋和割點

三:求橋和割點的模板

#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 201
vector<int>G[N];
int n,m,low[N],dfn[N];
bool is_cut[N];
int father[N];
int tim=0;
void input()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a,b;
    for
(int i=1;i<=m;++i) { scanf("%d%d",&a,&b); G[a].push_back(b);/*鄰接表儲存無向邊*/ G[b].push_back(a); } } void Tarjan(int i,int Father) { father[i]=Father;/*記錄每一個點的父親*/ dfn[i]=low[i]=tim++; for(int j=0;j<G[i].size();++j) { int k=G[i][j]; if
(dfn[k]==-1) { Tarjan(k,i); low[i]=min(low[i],low[k]); } else if(Father!=k)/*假如k是i的父親的話,那麼這就是無向邊中的重邊,有重邊那麼一定不是橋*/ low[i]=min(low[i],dfn[k]);//dfn[k]可能!=low[k],所以不能用low[k]代替dfn[k],否則會上翻過頭了。 } } void count() { int rootson=0; Tarjan(1,0); for(int i=2;i<=n;++i) { int v=father[i]; if(v==1) rootson++;/*統計根節點子樹的個數,根節點的子樹個數>=2,就是割點*/ else{ if(low[i]>=dfn[v])/*割點的條件*/ is_cut[v]=true; } } if(rootson>1) is_cut[1]=true; for(int i=1;i<=n;++i) if(is_cut[i]) printf("%d\n",i); for(int i=1;i<=n;++i) { int v=father[i]; if(v>0&&low[i]>dfn[v])/*橋的條件*/ printf("%d,%d\n",v,i); } } int main() { input(); memset(dfn,-1,sizeof(dfn)); memset(father,0,sizeof(father)); memset(low,-1,sizeof(low)); memset(is_cut,false,sizeof(is_cut)); count(); return 0; }