tarjan演算法——求無向圖的割點和橋
一.基本概念
1.橋:是存在於無向圖中的這樣的一條邊,如果去掉這一條邊,那麼整張無向圖會分為兩部分,這樣的一條邊稱為橋無向連通圖中,如果刪除某邊後,圖變成不連通,則稱該邊為橋。
2.割點:無向連通圖中,如果刪除某點後,圖變成不連通,則稱該點為割點。
二:tarjan演算法在求橋和割點中的應用
1.割點:
1)當前節點為樹根的時候,條件是“要有多餘一棵子樹”(如果這有一顆子樹,去掉這個點也沒有影響,如果有兩顆子樹,去掉這點,兩顆子樹就不連通了。)
2)當前節點U不是樹根的時候,條件是“low[v]>=dfn[u]”,也就是在u之後遍歷的點,能夠向上翻,最多到u,如果能翻到u的上方,那就有環了,去掉u之後,圖仍然連通。 保證v向上最多翻到u才可以
2.橋:若是一條無向邊(u,v)是橋,
1)當且僅當無向邊(u,v)是樹枝邊的時候,需要滿足dfn(u)<low(v),也就是v向上翻不到u及其以上的點,那麼u–v之間一定能夠有1條或者多條邊不能刪去,因為他們之間有一部分無環,是橋。
如果v能上翻到u那麼u–v就是一個環,刪除其中一條路徑後,能然是連通的。
3.注意點:
1)求橋的時候:因為邊是無方向的,所以父親孩子節點的關係需要自己規定一下,
在tarjan的過程中if(v不是u的父節點) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
因為如果v是u的父親,那麼這條無向邊就被誤認為是環了。
2)找橋的時候:注意看看有沒有重邊,有重邊的邊一定不是橋,也要避免誤判。
4.也可以先進行tarjan(),求出每一個點的dfn和low,並記錄dfs過程中的每個點的父節點,遍歷所有點的low,dfn來尋找橋和割點
三:求橋和割點的模板
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define N 201
vector<int>G[N];
int n,m,low[N],dfn[N];
bool is_cut[N];
int father[N];
int tim=0;
void input()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int a,b;
for (int i=1;i<=m;++i)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
G[a].push_back(b);/*鄰接表儲存無向邊*/
G[b].push_back(a);
}
}
void Tarjan(int i,int Father)
{
father[i]=Father;/*記錄每一個點的父親*/
dfn[i]=low[i]=tim++;
for(int j=0;j<G[i].size();++j)
{
int k=G[i][j];
if (dfn[k]==-1)
{
Tarjan(k,i);
low[i]=min(low[i],low[k]);
}
else if(Father!=k)/*假如k是i的父親的話,那麼這就是無向邊中的重邊,有重邊那麼一定不是橋*/
low[i]=min(low[i],dfn[k]);//dfn[k]可能!=low[k],所以不能用low[k]代替dfn[k],否則會上翻過頭了。
}
}
void count()
{
int rootson=0;
Tarjan(1,0);
for(int i=2;i<=n;++i)
{
int v=father[i];
if(v==1)
rootson++;/*統計根節點子樹的個數,根節點的子樹個數>=2,就是割點*/
else{
if(low[i]>=dfn[v])/*割點的條件*/
is_cut[v]=true;
}
}
if(rootson>1)
is_cut[1]=true;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(is_cut[i])
printf("%d\n",i);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int v=father[i];
if(v>0&&low[i]>dfn[v])/*橋的條件*/
printf("%d,%d\n",v,i);
}
}
int main()
{
input();
memset(dfn,-1,sizeof(dfn));
memset(father,0,sizeof(father));
memset(low,-1,sizeof(low));
memset(is_cut,false,sizeof(is_cut));
count();
return 0;
}