基礎篇（二）

向量

點，向量和標量的區別：
點是一個沒有大小之分的空間中的位置
向量是一個有模有方向但是沒有位置的量
標量是一個只有模沒有方向的量

向量和向量的加法：
A+B = (Ax+bx，Ay+By)
向量和向量的減法：
A-B = (Ax-bx，Ay-By)
注意：向量不能和標量相加減，不能和維度不一樣的向量相加減
向量和標量的除法：
A/a = （Ax/a，Ay/a）
向量和標量的乘法：
A*a = （Ax*a，Ay*a）
對於加減法：我們有三角形法則求距離
對於乘除法：我們可以求縮放
向量的模：
|A| = 每個分量的平方和然後開平方
向量的點積：

矩陣

矩陣在shader中的應用：

float2 centerUV = float2(0.5,0.5);//中心點
float rotaNormalAngle =(_BumpAngle * PI)/180
 
;//旋轉角度
float CosNormalAngle = cos(rotaNormalAngle);//餘弦值
float SinNormalAngle = sin(rotaNormalAngle);//正弦值               
float2 uvnormal = (mul(float3(i.uvnormal-centerUV,1),float3x3(1,0,0,0,1,0,_BumpShiftX,_BumpShiftY,1))).xy;//這是處理uv座標，所以使用的是3維的平移矩陣
uvnormal = mul(uvnormal,float2x2(_BumpRepeat,0,0,_BumpRepeat));//2維縮放矩陣
 

uvnormal = mul(uvnormal,float2x2(CosNormalAngle,-SinNormalAngle,SinNormalAngle,CosNormalAngle)) + centerUV;//2維旋轉矩陣

矩陣是3D數學的重要基礎，它主要用來描述兩個座標系統之間的關係，通過定義一種運算而將一個座標系中的向量轉換到另一個座標系。
向量是標量的陣列，矩陣是向量的陣列。
矩陣的維度：

矩陣的維度被定義為它包含了多少行和多少列，上面這個矩陣為4x3的矩陣，我們表示矩陣當中的某個元素，一般用Mij來表示，i表示行，j表示列。
方陣
行數和列數相同的矩陣被稱為是方陣

方陣行數和列數一樣的元素被稱為對角線元素，其他元素均為非對角線元素
對角矩陣：如果所有非對角線元素都為0
單位矩陣：一種特殊的對角矩陣，n維單位矩陣記作In，是nxn的矩陣，對角線的元素為1，其他元素為0.單位矩陣非常特殊，他是矩陣的乘法單位元，基本性質是用任意一個矩陣乘以單位矩陣，都將得到原來的矩陣。

注意：對角線的元素只有一條，並不包括另外一條.

轉置：
矩陣的轉置就是把矩陣沿x軸旋轉180度，然後沿z軸順時針旋轉90度
(書上寫的沿著矩陣的對角線翻折)

定理：
1.對於任意矩陣，將一個矩陣轉置一次，再轉置一次便會得到原來的矩陣，這條法則也適用於向量
2.對於任意對角矩陣，都有這個矩陣的轉置矩陣等於它自己

矩陣的運算：
矩陣和標量的乘法：
矩陣M和標量k相乘

簡而言之，就是用k去乘以矩陣中的每個元素，矩陣樣式不變
矩陣與矩陣的乘法：
條件：矩陣M和矩陣N相乘，M的行數必須和N的列數一樣，否則，乘法無意義

c1 = a1*b1 + a2*b4
行和列相乘
注意事項：
矩陣乘法不滿足交換律
矩陣乘法滿足結合律
矩陣積的轉置等於先轉置矩陣然後以相反的方向乘

向量和矩陣的乘法
1.行向量左乘矩陣，結果是行向量
2.列向量右乘矩陣，結果是列向量
反之，則無定義
DirectX使用的是行向量
等式中使用列向量更好
OpenGL使用列向量

矩陣的幾何解釋
矩陣是如何變換向量的？

如果把矩陣的行解釋為座標系的基向量，那麼乘以該矩陣就相當於執行了一次座標變換，如果有aM =b，那麼我們就說M將a轉換到b.

矩陣的形式：
矩陣的每一行都能理解為轉換之後的基向量

矩陣和線性變換：
變換物體和變換座標系
變換物體：將一個物體順時針旋轉90度，意味著旋轉物體上的點，座標移動到了一個新的位置
變換座標系：當我們旋轉座標系的時候，物體本身並沒有移動，只是我們在另外一個座標系中描述它
兩種變換實際上是等價的，將物體變換一個量，等價於將座標系變換一個相反的量

旋轉矩陣的推導：

我們可以根據三角函式cosθ = x/斜邊，而且我們知道斜邊的長度為1，所以x = cosθ
同理y = sinθ，因此p點的座標可以表示為p（cosθ，sinθ）.
同理，我們也可以用三角函式求得q的座標q（-sinθ，cosθ）.
然後我們可以組合一個2D的旋轉矩陣

這裡只是列舉了2d旋轉矩陣的推導，3d的旋轉矩陣也差不多，只不過繞某個軸旋轉的時候，保持這個軸不動就行。

繞任意軸n，角度θ的旋轉矩陣

縮放矩陣的推導:

如果要對p點進行縮放，那麼我們直接改變的就是在p的基礎座標上進行縮放，只需要在p的座標乘或者除以某個係數既可
由此我們可以推導二維縮放矩陣：

矩陣N對二維向量進行縮放，縮放係數為x，y

擴充的三維縮放矩陣

沿著3d任意軸的縮放矩陣，n為方向，k為縮放因子

平移矩陣
平移不屬於線性變換
因為平移不會改變方向，所以我們需要增加一個維度，對當前的向量進行平移操作