December 19, 2015 10:56 PM
Floyd演算法是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理帶權有向圖或負權的最短路徑問題
解決此問題有兩種方法：
其一是分別以圖中每個頂點為源點共呼叫n次演算法；
其二是採用Floyd演算法。
兩種演算法的時間複雜度均為O(n3)，但後者形式上比較簡單。

Floyd演算法的基本思想：
1. 利用二維陣列dist[i][j]記錄當前vi到vj的最短路徑長度，陣列dist的初值等於圖的帶權鄰接矩陣;
2. 集合S記錄當前允許的中間頂點，初值S=Φ;
3. 依次向S中加入v0 ,v1… vn-1，每加入一個頂點，對dist[i][j]進行一次修正：設S={v0 ,v1… vk-1}，加入vk，則dist(k)[i][j] = min{ dist(k-1)[i][j]，dist(k-1)[i][k]+dist(k-1)[k][j]}。dist(k)[i][j]的含義：允許中間頂點的序號最大為k時從vi到vj的最短路徑長度。
dist(n-1)[i][j]就是vi到vj的最短路徑長度。

最短距離有三種情況：
１、兩點的直達距離最短。
２、兩點間只通過一箇中間點而距離最短。
３、兩點間用通過兩各以上的頂點而距離最短。
對於第一種情況：
在初始化的時候就已經找出來了且以後也不會更改到。
對於第二種情況：
弗洛伊德演算法的基本操作就是對於每一對頂點，遍歷所有其它頂點，看看可否通過這一個頂點讓這對頂點距離更短
對於第三種情況：
如下圖的五邊形，可先找一點（比如x，使=2），就變成了四邊形問題，再找一點（比如y,使=2），可變成三角形問題了（v,u,w），也就變成第二種情況了，由此對於n邊形也可以一步步轉化成四邊形三角形問題。（這裡面不用擔心哪個點要先找哪個點要後找，因為找了任一個點都可以使其變成（n－1）邊形的問題）。

#Floyd.py
#王淵
#2015.12.17
#Email:[email protected]
from pylab import *

INFINITY = 65535                        #代表無窮大
D = array([[0,10,INFINITY,INFINITY,INFINITY,11,INFINITY,INFINITY,INFINITY],#鄰接矩陣
        [10,0,18,INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,INFINITY,12],
        [INFINITY,18,0,22,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,8
 
],
        [INFINITY,INFINITY,22,0,20,INFINITY,INFINITY,16,21],
        [INFINITY,INFINITY,INFINITY,20,0,26,INFINITY,7,INFINITY],
        [11,INFINITY,INFINITY,INFINITY,26,0,17,INFINITY,INFINITY],
        [INFINITY,16,INFINITY,24,INFINITY,17,0,19,INFINITY],
        [INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,7,INFINITY,19,0,INFINITY],
        [INFINITY,12,8,21,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,0]])
lengthD = len(D)                    #鄰接矩陣大小
p = list(range(lengthD))
P = []
for i in range(lengthD):
    P.append(p)
P = array(P)

for i in range(lengthD):
    for j in range(lengthD):
        for k in range(lengthD):
            if(D[i,j] > D[i,k]+D[j,k]):         #兩個頂點直接較小的間接路徑替換較大的直接路徑
                P[i,j] = P[j,k]                 #記錄新路徑的前驅
print(P)
print(D)