• 最短路徑-Floyd(弗洛伊德)演算法

• 簡介：

相較Dijkstra，Floyd是一個完全窮舉圖中每個點到末尾點的最短路徑

• 演算法思想：

按慣例說兩個工具

Path[MAX_SIZE][MAX_SIZE]：儲存所有的最短路徑（指向）

Short_Path[MAX_SIZE][MAX_SIZE]：儲存所有的最短路徑長度（陣列）

狀態轉移：

Short_Path[v][w]=min{ D[v][w] , D[v][k] + D[k][w] }

v-w為一路徑，中間經過k，取最小路徑的經過點k

• Dijkstra演算法：

傳送門：最短路徑-Dijkstra(迪傑斯特拉)演算法

Dijkstra演算法複雜度：O(n^n)

Floyd演算法複雜度：O(n^3)

• Floyd模板：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 1024

//鄰接圖
struct MGrapth
{
    int Vexs[MAX_SIZE];  //頂點表
    int Arc[MAX_SIZE][MAX_SIZE];  //鄰接矩陣
    int Num_Vertext,Num_Edges;  //頂點數，邊數
};
MGrapth Map;

int Path[MAX_SIZE][MAX_SIZE];  /*路徑矩陣*/
int Short_Path[MAX_SIZE][MAX_SIZE];   /*最短路矩陣*/

void Floyd()
{
    int v,w,k;
    for(v=0;v<Map.Num_Vertext;++v)
    {
        for(w=0;w<Map.Num_Vertext;w++)
        {
            Short_Path[v][w]=Map.Arc[v][w];
            Path[v][w]=w;
        }
    }

    for(k=0;k<Map.Num_Vertext;k++)
    {
        for(v=0;v<Map.Num_Vertext;v++)
        {
            for(w=0;w<Map.Num_Vertext;w++)
            {
                if(Short_Path[v][w]>Short_Path[v][k]+Short_Path[k][w])
                {
                    Short_Path[v][w]=Short_Path[v][k]+Short_Path[k][w];
                    Path[v][w]=Path[v][k];
                }
            }
        }
    }
}

void Print_Path()   
{
    int v,w,k;
    for(v=0;v<Map.Num_Vertext;v++)   //列印所有v-w的路徑
    {
        for(w=v+1;w<Map.Num_Vertext;w++)
        {
            printf("v%d-v%d weight: %d",v,w,Short_Path[v][w]);
            k=Path[v][w];
            printf(" Path: %d",v);
            while(k!=w)
            {
                printf(" -> %d",k);
                k=Path[k][w];
            }
            printf("-> %d\n",w );
        }
        printf("\n");
    }
}