求解最長迴文字串樸素演算法

最樸素的演算法是暴力解法就不談了，時間複雜度是O(n³)。

比最樸素解法稍微好一些的解法是O(n²)的一種解法，思路是從對稱軸開始考慮，根據迴文字串長度的奇偶分為兩種情況，如果最長的迴文字串為偶數位，那麼他的對稱軸是中間部分，如果是奇數位則為中間的一個字元。那麼從該字串的第一個字元開始一共有n+（n-1）個對稱軸，每個對稱軸都需要便利一遍n來找最長的迴文字串，所以演算法複雜度是O(n²)。

普通的情況下，在沒有聽說過其他解法的時候我們最好的處理就是這種方法了，下面介紹一種演算法複雜度為O(n)的演算法，manacher演算法。

manacher演算法解決最長迴文字串問題

剛才的第二種解法中我們不斷的更改對稱軸並進行匹配。在這個過程中我們貌似進行了很多重複的工作，比如相鄰的兩個對稱軸我們檢測的迴文字串會重複的不斷檢測這兩個字元旁邊的字元。演算法之所以能夠優化的根本原因就是把重複計算去掉了，那麼我們怎麼樣才能減少相近字元的重複計算呢？

str1 : abacbcac

str2 : #a#b#a#c#b#c#a#c#

我們要計算的就是str1的最長迴文字串，manacher演算法的思路是把字串包括前後的所有空隙都插入一個相同的其他字元，就像例子中我們構造出了str2字串。無論原字串是奇還是偶構造出來的結果都是一個奇數位的字串。

迴文半徑

為了方便說明演算法，我們引入迴文半徑的概念，迴文半徑是指在str2中每個字元(每個字元不包括空隙，但是包括#號)的迴文序列從對稱軸到最遠端的長度（包含自身）。那麼對於str2中的每個字元我們都可以計算他的最長迴文半徑。

s t r 2:#a#b#a#c#b#c#a#c#

半徑 :12131212161212121

我們通過肉眼計算得到了迴文半徑，那麼接下來有個很重要的定理：

str1中最長的迴文字串長度是str2中最大回文半徑-1.

我們觀察str1中的最大回文字串為acbca為5，str2中的最大回文半徑是6，剛好符合上面的定理。說實話，這個其中的具體原因是什麼，這裡不解釋，因為這個演算法被創造出來是一個數學的過程，但是我們主要要去使用這個演算法，如果你在面試的時候只有一支筆一張紙，沒聽說過這個演算法你是不可能在短時間自己證明出它的，我們要做的就是熟練運用。

如何求解迴文半徑？

問題簡單了，我們開始要求迴文字串，現在只需要計算迴文半徑就可以了，那麼如何用最低的複雜度計算迴文半徑呢？

首先我們看最簡單的方法，我們只需要求所有的迴文半徑，每個字元進行便利即可，最多需要O(n²)的複雜度，這聽起來和最開始的方法的複雜度很像，那麼現在的計算和剛開始的計算有什麼區別呢？開始的計算方法要計算空隙和字元所有的迴文情況，現在只需要計算每個字元的迴文半徑即可，不需要計算空隙，那麼相比較之前的方法計算迴文半徑會出現很多重複次的計算。

只要我們能夠避免重複計算，那麼我們就可以獲得更小的複雜度計算方法。

如何避免重複計算呢？我們從str2字串首部開始，將第一個點標記為pos，將該點右側最長半徑處的邊緣點記作MaxR，表示右側最大值點，因為我們知道字串具有對稱性，所以所有在pos和MaxR之間的字元i都有兩種情況，第一種是該字元i的半徑和pos左側相應位置的j點的半徑長相同；第二種情況是i半徑長度比j還大，i的半徑可以擴充套件到MaxR的右側，那麼這個時候我們進行手動遍歷以i為對稱軸的對稱的兩點來計算i的最大半徑，並在這之後更新i為新的pos，i的右側為新的MaxR。除此之外還有一種情況就是i的點在MaxR右側，此時我們正常以i為對稱軸進行左右對稱判斷更新i的半徑，但是無論結果如何都更新i變為pos，i的右側為MaxR。

演算法如上，我簡單的總結就是，如果i在pos和MaxR中間我們有可能通過pos的對稱點快速計算出i的半徑，否則進行樸素的對稱計算，但是因為我們採用的這種標記最右側MaxR的方法，所以我們會避免很多重複計算，時間複雜度為O(n+m)考慮到m是常數，複雜度為O(n)。