迴文串定義：“迴文串”是一個正讀和反讀都一樣的字串，比如“level”或者“noon”等等就是迴文串。迴文子串，顧名思義，即字串中滿足迴文性質的子串。

經常有一些題目圍繞回文子串進行討論，比如POJ3974最長迴文，求最長迴文子串的長度。樸素演算法是依次以每一個字元為中心向兩側進行擴充套件，顯然這個複雜度是O(N^2)的，關於字串的題目常用的演算法有KMP、字尾陣列、AC 自動機，這道題目利用擴充套件KMP可以解答，其時間複雜度也很快O(N*logN)。但是，今天筆者介紹一個專門針對迴文子串的演算法，其時間複雜度為O(n)，這就是manacher 演算法。

2、以Str[i]為中心的迴文串一定是以#開頭和結尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L 減去最前或者最後的‘#’字元就是原串中長度      的二倍，即原串長度為(L-1)/2，化簡的P[i]-1。得證。 依次從前往後求得P 陣列就可以了，這裡用到了DP(動態規劃)的思想，       也就是求P[i] 的時候，前面的P[]值已經得到了，我們利用迴文串的特殊性質可以進行一個大大的優化。

先把核心程式碼貼上：

for (i = 0; i < len; i++){
         if (maxid > i){
             p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
         }
         else{
              p[i] = 1;
         }
         while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])
                p[i]++;
         if (p[i] + i > maxid){
             maxid = p[i] + i;
             id = i;
         }
         if (ans < p[i])
             ans = p[i];
     }
 

if (maxid > i){
             p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
         }

j=2*id-1 即為i 關於id 的對稱點，根據對稱性，P[j]的迴文串也是可以對稱到i 這邊的,但是如果P[j]的迴文串對稱過來以後超過MaxId 的話，超出部分就不能對稱過來了，如下圖，

所以這裡P[i]為的下限為兩者中的較小者，p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i)。演算法的有效比較次數為MaxId 次，所以說這個演算法的時間複雜度為O(n)。

下面就貼一個具體程式碼，求解最長迴文字串的程式碼：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
using namespace std;
const int MAX = 100001;
int len, p[2*MAX];
char str[2*MAX], newstr[2*MAX];

void change()
{
     int i;
     newstr[0] = '@';
     newstr[1] = '#';
     for (i = 0; i < len; i++){
         newstr[2*i + 2] = str[i];
         newstr[2*i + 3] = '#';
     }
     newstr[2*len + 2] = '\0';
     return ;
}


void Manacher()
{
     int i, j, id, maxid = 0, ans = 1;
     len = 2 * len + 2;
     for (i = 0; i < len; i++){
         if (maxid > i){
             p[i] = min(p[2*id - i], maxid - i);
         }
         else{
              p[i] = 1;
         }
         while (newstr[i+p[i]] == newstr[i-p[i]])
                p[i]++;
         if (p[i] + i > maxid){
             maxid = p[i] + i;
             id = i;
         }
         if (ans < p[i])
             ans = p[i];
     }
     
     for (i = id, j = 0; i < id + ans; i++){
          if (newstr[i] != '#'){
              str[j] = newstr[i];
              j++;
          }
     }
     str[id+ans] = '\0';
     cout << ans - 1 << " " << str << endl;
     return ;
}


int main()
{
    while (scanf("%s", &str)){
          if (strcmp(str, "END") == 0)   break;
          len = strlen(str);
          change();
          Manacher();
    }
    
    system("pause");
}