1. 問題描述

子串應該比較好理解，至於什麼是子序列，這裡給出一個例子：有兩個母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs與belong中都出現過並且出現順序與母串保持一致，我們將其稱為公共子序列。最長公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顧名思義，是指在所有的子序列中最長的那一個。子串是要求更嚴格的一種子序列，要求在母串中連續地出現。在上述例子的中，最長公共子序列為blog（cnblogs, belong），最長公共子串為lo（cnblogs, belong）。

2. 求解演算法

對於母串\(X = < x_1, x_2, \cdots , x_m >\)

暴力解法

假設 \(m < n\)， 對於母串\(X\)，我們可以暴力找出\(2^m\)個子序列，然後依次在母串\(Y\)中匹配，演算法的時間複雜度會達到指數級\(O(n*2^m)\)。顯然，暴力求解不太適用於此類問題。

動態規劃

假設\(Z =< z_1, z_2, \cdots , z_k >\)是\(X\)與\(Y\)的LCS， 我們觀察到

• 如果\(x_m = y_n\)，則\(z_k = x_m = y_n\)，有\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)
  與\(Y_{n-1}\)的LCS；
• 如果\(x_m \ne y_n\)，則\(Z_{k}\)是\(X_{m}\)與\(Y_{n-1}\)的LCS，或者是\(X_{m-1}\)與\(Y_{n}\)的LCS。

因此，求解LCS的問題則變成遞迴求解的兩個子問題。但是，上述的遞迴求解的辦法中，重複的子問題多，效率低下。改進的辦法——用空間換時間，用陣列儲存中間狀態，方便後面的計算。這就是動態規劃（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二維陣列c[i][j]記錄串\(x_1x_2 \cdots x_i\)與\(y_1y_2\cdots y_j\)的LCS長度，則可得到狀態轉移方程
\[ c[i,j] = \left\{ {\matrix{ 0 & {{i = 0 \rm{\ or \ }j = 0}} \cr {c[i - 1,j - 1] + 1} & {{i, j > 0 \rm{\ and\ } \ }{{x}}_i} = {y_j} \cr {\max ({c[i, j - 1], c[i - 1, j])}} & {{i, j > 0 \rm{\ and\ }}{{\rm{x}}_i} \ne {y_j}} \cr } } \right. \]

程式碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
            } else {
                c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return c[len1][len2];
}

DP求解最長公共子串

前面提到了子串是一種特殊的子序列，因此同樣可以用DP來解決。定義陣列的儲存含義對於後面推導轉移方程顯得尤為重要，糟糕的陣列定義會導致異常繁雜的轉移方程。考慮到子串的連續性，將二維陣列\(c[i,j]\)用來記錄具有這樣特點的子串——結尾為母串\(x_1x_2 \cdots x_i\)與\(y_1y_2\cdots y_j\)的結尾——的長度。

得到轉移方程：
\[ c[i,j] = \left\{ {\matrix{ 0 & {i = 0 \rm{\ or\ }j = 0} \cr {c[i - 1,j - 1]+1} & {{x_i} = {y_j}} \cr 0 & {{x_i} \ne {y_j}} \cr } } \right. \]

最長公共子串的長度為 \(max(c[i,j]), \ i\in \lbrace 1,\cdots, m \rbrace, j\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace\)。

程式碼實現

public static int lcs(String str1, String str2) {
    int len1 = str1.length();
    int len2 = str2.length();
    int result = 0;     //記錄最長公共子串長度
    int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
    for (int i = 0; i <= len1; i++) {
        for( int j = 0; j <= len2; j++) {
            if(i == 0 || j == 0) {
                c[i][j] = 0;
            } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                result = max(c[i][j], result);
            } else {
                c[i][j] = 0;
            }
        }
    }
    return result;
}

3. 參考資料