numpy中方差var、協方差cov求法
在PCA中涉及到了方差var和協方差cov，下面詳細瞭解這兩個函式的用法。numpy中var和cov函式求法和MATLAB中var和cov函式求法類似。
首先均值，樣本方差，樣本協方差公式分別為
樣本的方差，而是整個空間的方差。
下面就介紹MATLAB中var和cov函式的用法
函式名稱：cov
函式功能： 求協方差矩陣
函式用法： cov(X) % cov(X,0) = cov(X)
cov(X,Y) % X,Y必須是各維數都相同的矩陣
cov(X,1) % 除以N而不是N-1
詳細描述：
......................................................................
if X is a vector向量，cov(X)輸出的是這個向量的方差
例：
>> A = [4 1 3];
>> AA = cov(A)
AA =
2.3333
>> a = mean(A)
a =
2.6667
>> AAA = 1/3*((4-a)^2+(1-a)^2+(3-a)^2)
AAA =
1.5556
>> AAAA= 1/2*((4-a)^2+(1-a)^2+(3-a)^2) %同樣，這個方差不是真正意義的方差，而是對樣本統計方差的一個無偏估計值
AAAA =
2.3333
..............................................................................
對於矩陣來說，matlab把每行看做一個觀察值，把每列當做一個變數，也就是說對於一個4*3的矩陣求協方差矩陣，matlab會認為存在三個變數，即會求出一個3*3的協方差矩陣。
其中，對角線元素為對應變數的方差無偏估計值，其他位置為對應變數間的 協方差無偏估計值（即除的是N-1）
.......................................................................
例1：
>> X = [1 5 6; 4 3 9 ; 4 2 9; 4 7 2]
X =
1 5 6
4 3 9
4 2 9
4 7 2
>> Y = cov(X)
Y =
2.2500 -0.7500 0.5000
-0.7500 4.9167 -7.1667
0.5000 -7.1667 11.0000
為探究過程，以Y(1,1)和Y（1,2）為例進行驗證
>> x=X(:,1);
>> sum((x-3.25).^2)/3
ans =
2.2500
>> y = X (:,2);
>> aa = x'*y/3
aa =
-0.7500
......................................................
對於cov(X,Y)
X、Y必須是各維數都相等的矩陣，其功能是把X中所有元素看做一個變數的樣本，Y中所有元素看做另外一個變數的樣本，把矩陣中每個對應位置看做一個聯合觀察值
函式實現的是求出兩個變數的協方差矩陣
例2：
>> X
X =
1 5 6
4 3 9
4 2 9
4 7 2
>> Y = [1 6 7; 7 5 9 ; 1 6 4 ; 2 9 2]
Y =
1 6 7
7 5 9
1 6 4
2 9 2
>> cov(X,Y)
ans =
6.9697 4.4242
4.4242 8.4470
現在用（1,1）和（1,2）位置驗證
>> sum(sum((X-mean(mean(X))).^2))/11 %把X中每個元素都看做一個變數的樣本，求其方差的無偏估計值
ans =
6.9697
>> sum(sum((X-mean(mean(X))).*(Y-mean(mean(Y)))))/11 %把X、Y矩陣對應位置元素看做一個聯合樣本，根據公式E[(X-EX)*(Y-EY)]求協方差
ans =
4.4242
.....................................................................................
cov(X,1) 和 cov(X,Y,1) 與之前的求解過程一致，不同的是，其求出的是協方差，而不是樣本的協方差無偏估計值，即其除以的是N 而不是N-1
例3：
>> cov(X,1)
ans =
1.6875 -0.5625 0.3750
-0.5625 3.6875 -5.3750
0.3750 -5.3750 8.2500
>> x=X(:,1);
sum((x-3.25).^2)/4 %不同之處
ans =
1.6875
>> y = X (:,2);
>> y = y - 4.25;
>> aa = x'*y/4 %不同之處
aa =
-0.5625
例4：
X =
1 5 6
4 3 9
4 2 9
4 7 2
>> Y = [1 6 7; 7 5 9 ; 1 6 4 ; 2 9 2]
Y =
1 6 7
7 5 9
1 6 4
2 9 2
>> cov(X,Y)
ans =
6.9697 4.4242
4.4242 8.4470
>> a =cov(X,Y,1)
a =
6.3889 4.0556
4.0556 7.7431
>> a.*12/11 %看出來了吧
ans =
6.9697 4.4242
4.4242 8.4470
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