Codeforces 960G Bandit Blues 第一類斯特林數+分治FFT
阿新 • • 發佈:2019-01-05
題意
定義序列中的一個數為字首最大值僅當其前面沒有比他大的數,字尾最大值同理。問有多少個長度為n的排列滿足字首最大值數量恰好為a,字尾最大值數量恰好為b。
分析
首先分析一下性質,排列中的最大值,也就是n必然是一個字首最大值和字尾最大值,且字首最大值一定在n的前面,字尾最大值一定在n的後面。
設表示有多少個大小為的排列滿足字首最大值數量恰好為。列舉最小的數放哪裡,不難得到
根據遞推式不難發現
列舉放哪不難得到
但這樣子顯然沒法求,考慮繼續化簡。
設字首最大值的位置為,我們可以把看做一塊,那麼現在相當於要選塊出來,然後選出塊放到前面,其餘放後面,那麼答案就是
很好,那麼現在我們就只要求一個第一類斯特林數就好了。怎麼求呢?
其實第一類斯特林數
直接用分治FFT來求就好了。
複雜度。
程式碼
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
const int N=200005;
const int MOD=998244353;
int n,p,q,a[20][N],rev[N],L;
int ksm(int x,int y)
{
int ans=1;
while (y)
{
if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
}
return ans;
}
void NTT(int *a,int f)
{
for (int i=0;i<L;i++) if (i<rev[i]) std::swap(a[i],a[rev[i]]);
for (int i=1;i<L;i<<=1)
{
int wn=ksm(3,f==1?(MOD-1)/i/2:MOD-1-(MOD-1)/i/2);
for (int j=0;j<L;j+=(i<<1))
{
int w=1;
for (int k=0;k<i;k++)
{
int u=a[j+k],v=(LL)a[j+k+i]*w%MOD;
a[j+k]=(u+v)%MOD;a[j+k+i]=(u+MOD-v)%MOD;
w=(LL)w*wn%MOD;
}
}
}
int ny=ksm(L,MOD-2);
if (f==-1) for (int i=0;i<L;i++) a[i]=(LL)a[i]*ny%MOD;
}
void solve(int l,int r,int d)
{
if (l==r) {a[d][0]=l;a[d][1]=1;return;}
int mid=(l+r)/2;
solve(l,mid,d+1);
for (int i=0;i<=mid-l+1;i++) a[d][i]=a[d+1][i];
solve(mid+1,r,d+1);
int lg=0;
for (L=1;L<=r-l+1;L<<=1,lg++);
for (int i=0;i<L;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
for (int i=mid-l+2;i<L;i++) a[d][i]=0;
for (int i=r-mid+1;i<L;i++) a[d+1][i]=0;
NTT(a[d],1);NTT(a[d+1],1);
for (int i=0;i<L;i++) a[d][i]=(LL)a[d][i]*a[d+1][i]%MOD;
NTT(a[d],-1);
}
int C(int n,int m)
{
int ans=1,s=1;
for (int i=0;i<m;i++) ans=(LL)ans*(n-i)%MOD,s=(LL)s*(i+1)%MOD;
return (LL)ans*ksm(s,MOD-2)%MOD;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&p,&q);
if (p+q-2>n-1||!p||!q) {puts("0");return 0;}
if (n==1) {puts("1");return 0;}
solve(0,n-2,0);
printf("%d",(LL)a[0][p+q-2]*C(p+q-2,p-1)%MOD);
return 0;
}