最近做題有時會碰到斯特林數（Stirling數），就覺得好好的學習一番，於是呢，寫下這篇部落格，來記錄一些知識

簡單介紹

第一類斯特林數表示表示將 n 個不同元素構成m個圓排列的數目。——百度百科

第一類斯特林數，可以表示為$s(n,m)$，注意這裡是小寫
，要與大寫的第二類斯特林數區分開來，定義上面也講到了，但是呢，其實那句話最好改成第一類斯特林數的絕對值，因為第一類斯特林數是分正負的，分為無符號斯特林數$s_u(n,m)$和有符號斯特林數$s_s(n,m)$

有無符號Stirling數分別表現為其升階函式和降階函式的各項係數[類似於二項式係數]，形式如下：

$$x^{n\downarrow}=x(x-1)(x-2)···(x-n-1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,k)x^k$$
$$x^{n\uparrow}=x(x+1)(x+2)···(x+n-1)=\sum_{k=0}^ns_u(n,k)x^k$$

這是一個很煩的式子，但其實呢，有符號和無符號斯特林數之間的關係其實很簡單$s_s(n,m)=(-1)^{n+m}s_u(n,m)$

計算公式

第一類斯特林數有個遞推式很好想
想一下對於$s_u(n,m)$
若$n=0$，$m=0$那麼顯然就一種方案
若$n\neq0$，$m=0$那麼肯定分配不了，有0種方案
若$n\neq0$， m

≠0 $m\neq0$
那麼考慮轉移
倘若由$s_u(n-1,m-1)$轉移而來，則說明新來的一個點自成一個環只有一倍的貢獻
倘若由$s_u(n-1,m)$轉移而來，則說明新來的一個點插入到m個環中的n-1個空格的任何一個位置，那麼就有n-1倍的貢獻，遞推式為$s_u(n,m)=s_u(n-1,m-1)+(n-1)*s_u(n-1,m)$
有符號的第一類斯特林數的遞推式為$s_s(n,m)=s_s(n-1,m-1)-(n-1)*s_s(n-1,m)$
證明是前面那個公式

$$\sum_{k=0}^ns(n,k)x^k=x^{n\downarrow}=x^{n-1\downarrow}*(x-n+1)=\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^{k+1}-n*\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^k$$
依次把 $x^m$在左右兩邊的係數提取出來得到

性質

除了一些比較容易想到的性質外，第一類斯特林數還有如下性質

$$s_u(n,2)=(n-1)!*\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}$$
$$\sum_{k=0}^ns_u(n,k)=n!$$

應用

第一類斯特林數是一種在組合方面比較有用的數，很多問題都可通過它來解決，熟悉它的性質，才能熟練的運用到公式推導的過程中去