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四元素與尤拉角的轉換及定義、程式碼

在3D圖形學中,最常用的旋轉表示方法便是四元數和尤拉角,比起矩陣來具有節省儲存空間和方便插值的優點。本文主要歸納了兩種表達方式的轉換,計算公式採用3D笛卡爾座標系:

圖1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

    定義分別為繞Z軸、Y軸、X軸的旋轉角度,如果用Tait-Bryan angle表示,分別為Yaw、Pitch、Roll。

圖2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

一、四元數的定義

   通過旋轉軸和繞該軸旋轉的角度可以構造一個四元數:

       其中是繞旋轉軸旋轉的角度,為旋轉軸在x,y,z方向的分量(由此確定了旋轉軸)。

二、尤拉角到四元數的轉換

三、四元數到尤拉角的轉換

       arctanarcsin的結果是

,這並不能覆蓋所有朝向(對於的取值範圍已經滿足),因此需要用atan2來代替arctan

四、在其他座標系下使用

在其他座標系下,需根據座標軸的定義,調整一下以上公式。如在Direct3D中,笛卡爾座標系的X軸變為Z軸,Y軸變為X軸,Z軸變為Y軸(無需考慮方向)。

參考文獻及程式碼http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/quaternionToEuler/

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