洛谷 P1273 有線電視網（樹形揹包）

乾透一道題

題面：洛谷 P1273

本質就是個揹包。這道題dp有點奇怪，最終答案並不是dp值，而是最後遍歷尋找那個合法且最優的\(i\)作為答案。dp值存的是當前狀態下的成本，所以合法情況即當成本值大於等於0，不虧本的時候。

因為dp維護的是成本，並且按照揹包思想，存在讓這個使用者接入和不讓這個使用者接入兩種決策，類比揹包，所以狀態轉移方程容易得到原始方程：
\[ dp[s][i][j]=max \{ dp[s][i-1][j-k]+dp[w][size_w][k]-cost[s][w](w \in son[s]) \} \]
\(dp[s][i][j]\)

最終二維的dp方程：
\[ dp[s][j]=max \{ dp[s][j-k]+dp[w][k]-cost[s][w](w \in son[s]) \} \]
192ms AC Code:

#include <cstdio>
using namespace std;
#define MAXN 3003
#define MAX(A,B) ((A)>(B)?(A):(B))
#define INF 0x3ffffff
struct e{
    int w,v,nxt;
} edge[10000010]; //邊數一定要開大！
int dp[MAXN][MAXN],head[MAXN],sz[MAXN];
int n,m,cnt_e;
inline void adde(int u, int v, int w){
    edge[++cnt_e].w=w;
    edge[cnt_e].v=v;
    edge[cnt_e].nxt=head[u];
    head[u]=cnt_e;
}
int solve(int x, int fa){
    if(x>=n-m+1&&x<=n) //是否為使用者端
        return sz[x]=1;
    for(register int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){ //”遞增”遍歷兒子i
        sz[x]+=solve(edge[i].v, x); //樹形dp通常自下而上更新
        for(register int j=sz[x];j>=0;--j) //列舉狀態
            for(register int k=0;k<=sz[edge[i].v];++k)  //列舉決策，當前兒子取幾個使用者
                dp[x][j]=MAX(dp[x][j], dp[x][j-k]+dp[edge[i].v][k]-edge[i].w);
        //dp[s][i][j]=max{dp[s][i-1][j-k]+dp[w][size_w][k]-cost[s][w]} 原始狀態轉移方程
    }
    return sz[x];
}
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for(register int i=0;i<=n;i++)
        for(register int j=0;j<=m;j++)
            dp[i][j]=-INF;
    for (int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=0; //注意初始化！
    for(int i=1;i<=n-m;++i){
        int sz;
        scanf("%d", &sz);
        for(int j=1;j<=sz;++j){
            int a,c;
            scanf("%d %d", &a, &c);
            adde(i, a, c); //鏈式前向星建邊
        }
    }
    for(int i=n-m+1;i<=n;++i)
        scanf("%d", &dp[i][1]);
    solve(1,0);
    for(register int i=m;i>=0;--i) //遞減遍歷找到第一個合法值
        if(dp[1][i]>=0){
            printf("%d\n", i);
            break;
        }
    return 0;
}
 

需要注意：

• 鏈式前向星邊數不是\(N\)，一定要開大
• dp的遍歷順序一定要正確，因為你已經優化了一維\(i\)
• 使用者端支付的錢\(w\)應該表示為\(dp[n][1]=w\)
• dp一定要結合dp方程初始化