P1368 均分紙牌（加強版）

題目描述

有 N 堆紙牌，編號分別為 1，2，…, N。每堆上有若幹張，紙牌總數必為 N 的倍數。可以在任一堆上取1張紙牌，然後移動。

移牌規則為：在編號為 1 堆上取的紙牌，能移到編號為 2和N 的堆上；在編號為 N 的堆上取的紙牌，能移到編號為 N-1和1 的堆上；其他堆上取的紙牌，可以移到相鄰左邊或右邊的堆上。

現在要求找出一種移動方法，使每堆上紙牌數都一樣多且牌的移動次數盡量少。

輸入輸出格式

第一行一個整數n

第二行為n個空格分開的正整數，為n堆紙牌的牌數。

只有一個數，為最少的移動次數。

輸入輸出樣例

4
1 2 5 4

4

說明

對樣例的說明：

①第4堆移動1張牌至第1堆

②第3堆移動1張牌至第2堆

③第3堆移動1張牌至第2堆

④第2堆移動1張牌至第1堆

此時移動次數為4最小

【數據範圍】

對於40%的數據，n<=10000

對於100%的數據，n<=1000000，所有紙牌數總和在2147483647內

/*
    設平均數為xba
    
    不妨設a1給了an x1 張紙牌（k可正可負），a2給了a1 x2張紙牌， a3給了a2 x3 張紙牌……an給了a(n - 1) xn張紙牌，不難發現以下方程：
    
    xba = a1 - x1 + x2
    xba = a2 - x2 + x3
    xba = a3 - x3 + x4
    xba = a4 - x4 + x5
    ......
    xba = a(n - 1) - x(n - 1) + xn
    xba = an - xn + x1
    
    我們考慮最終結果，應該是
    |x1| + |x2| + |x3| + .... + |xn|
    
    換元法，得到
    ans = |x1| + |xba - a1 + x1| + |2xba -a1 - a2 + x1| + |3xba -a1 - a2 - a3 + x1| + ..... + |(n - 1)xba - Σai,i <= n - 1|轉換為一次函數帶絕對值的最值問題
    
    數形結合思想，看做是數軸上點的距離。
    中位數時距離和最小。
 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000010
#define INF 0x3f3f3f3f
long long a[maxn],sum,f[maxn],xba,n,k,ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(long long i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        sum+=a[i];
    }
    xba
 
=sum/n;
    f[1]=0;
    for(long long i=2;i<=n;i++)
        f[i]=f[i-1]+xba-a[i-1];
    sort(f+1,f+n+1);
    k=f[n/2+1];
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        ans+=abs(k-f[i]);
    cout<<ans;
    return 0;
}

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