簡單的數學題

題目連線

題目描述

輸入一個正整數$n,n\le 10^{10}$和$p,p \le 1.1 \times 10^9$.且$p$為質數.

計算$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)$對$p$取模.

題解

方法一.暴力推公式

1. 考慮把列舉$gcd(i,j)$ 原式=$\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij\times [gcd(i,j)=1]$
2. 莫比烏斯反演處理後邊的式子 設$f(x)=\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij\times [gcd(i,j)=x]$ $g(x) = \sum_{x|d}f(d)=x^2\sum_{i=1}^{n/dx}\sum_{j=1}^{n/dx}ij$ 故$f(x)=\sum_{x|p}\mu(p/x)g(p)=\sum_{x|p}\mu(p/x)p^2\sum_{i=1}^{n/dp}\sum_{j=1}^{n/dp}ij$ 因此$f(1)=\sum_{p=1}^n\mu(p)p^2\sum_{i=1}^{n/dp}\sum_{j=1}^{n/dp}ij$
3. 合併兩部分 原式=$\sum_{d=1}^nd^3\sum_{p=1}^n\mu(p)p^2\sum_{i=1}^{n/dp}\sum_{j=1}^{n/dp}ij$ 轉而列舉$a=dp$.我們得到: 原式$=\sum_{a=1}^n\sum_{d|a}a^2d\mu(a/d)\sum_{i=1}^{n/a}i\sum_{j=1}^{n/a}j$ $=\sum_{a=1}^n (\frac{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor(\lfloor \frac{n}{a} \rfloor+1)}{2})^2a^2\sum_{d|a}d\mu(a/d)$ 我們發現$Id*\mu=\phi$是常見的狄利克雷卷積. 因此原式$=\sum_{a=1}^n (\frac{\lfloor \frac{n}{a} \rfloor(\lfloor \frac{n}{a} \rfloor+1)}{2})^2a^2\phi(a)$ 化簡到這一步的時候,前面部分可以分塊計算,後面的部分$a^2\phi(a)$要快速計算字首和. 於是我們想到了杜教篩: 記$f(x)=x^2\phi(x)$,找到積性函式$g(x)=x^2$與它做卷積使得$g(x)$的字首和可以快速求出,而$(f*g)(x)=\sum_{d|x}\frac{x}{d}^2\times d^2\phi(d)=x^2\sum_{d|x}\phi(x)=x^3$的字首和也可以快速求出. 記$S(x)=\sum_{i=1}^xf(x)$ 根據杜教篩公式$g(1)S(n)=\sum_{x=1}^n(f*g)(x) - \sum_{x=2}^ng(x)S(\frac{n}{x})$. $S(n)=\sum_{x=1}^nx^3-\sum_{x=2}^nx^2S(\frac{n}{x})$