- 概念引入

　　- 數論函式

　　　　指定義域為正整數的函式
　　　　定義其加法為逐項相加，即$(f + g)(n) = f(n) + g(n)$
　　　　定義其數乘為逐項相乘，即$(xf)(n) = x × f(n)$

　　- 單位元

　　　　單位元是集合中一種特別的元素，當單位元與其它元素相結合時，不會改變其它元素的值

　　- 逆元

　　　　逆元是指可以取消另一給定元素運算的元素，即將其變回單位元

　　- 符號表示

　　　　$[A]$表示條件$A$是否為真
　　　　此處的符號"$*$"表示狄利克雷卷積

- 狄利克雷卷積

　　令$t(n) = f(n) * g(n)$，則
　　

$t(n) = \sum\limits_{i | n} f(i)g(\frac{n}{i})$

　　那麼狄利克雷卷積顯然有下面幾個性質：
　　　　- 滿足乘法交換律、結合律、分配律
　　　　- 對於單位元$\epsilon(n) = [n = 1]$，滿足$\epsilon(n)f(n) = f(n)$
　　　　- 對於每一個$f(1) \ne 1$的數論函式$f(n)$，皆存在其逆元$f^{- 1}(n)$，滿足$f(n) * f^{- 1}(n) = \epsilon(n)$，那麼對於這個結論，可以令$f^{- 1}(n) = \frac{1}{f(1)}\left(\epsilon(n) - \sum\limits_{i | n, i \ne 1} f(i)f^{- 1}(\frac{n}{i})\right)$，再代回原式，滿足條件

- 狄利克雷卷積與積性函式

　　- 積性函式

　　　　積性函式滿足當$(n, m) = 1$，有$f(nm) = f(n)f(m)$

　　- 相關性質

　　　　- 若$(n, m) = 1, \ d | nm$，則必定存在$a | n, \ b | m$且滿足$ab = d$，證明顯然
　　　　- 若$(n, m) = 1, \ a | n, \ b | m$，則有$(a, b) = 1$，證明顯然
　　這樣的話，就有性質：兩個積性函式的狄利克雷卷積仍是積性函式，證明：
　　若$(n, m) = 1$，則有
　　　　

$t(nm) = \sum\limits_{i | nm} f(i)g(\frac{nm}{i})$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum\limits_{a | n, b | m} f(ab)g(\frac{nm}{ab})$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum\limits_{a | n, b | m} f(a)f(b)g(\frac{n}{a})g(\frac{m}{b})$ $\ \ \ \ = t(n) * t(m)$

　　另外一個性質，就是兩個積性函式的逆元仍是積性函式，是用數學歸納法證明：
　　　　令$(n, m) = 1$，當$nm = 1$時，結論顯然成立
　　　　當$nm > 1$且$n_1m_1 < nm$時$n_1m_1$結論成立，再假設$nm$時結論成立，則有（注意，積性函式中一定滿足$f(1) = 1$）

$f^{- 1}(nm) = - \sum\limits_{i | nm} f(i)f^{- 1}(\frac{nm}{i})$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = - \sum\limits_{a | n, b | m, ab \ne 1} f(a)f(b)f^{- 1}(\frac{n}{a})f^{- 1}(\frac{m}{b})$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = f(1)f(1)f^{- 1}(n)f^{- 1}(m) - \sum\limits_{a | n, b | m, ab \ne 1} f(a)f(b)f^{- 1}(\frac{n}{a})f^{- 1}(\frac{m}{b})$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = f^{- 1}(n)f^{- 1}(m) - \epsilon(n)\epsilon(m)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ = f^{- 1}(n)f^{- 1}(m)$

- 狄利克雷卷積與莫比烏斯反演

　　令$\mu$表示$1$在狄利克雷卷積意義下的逆元，令$g = f * 1$，則有$f = f * 1 * \mu = g * \mu$，再令$g(n) = \sum\limits_{d | n} f(d)$，則有

$f(n) = g(n) * \mu(n) = \sum\limits_{d | n} g(n)\mu(\frac{n}{d})$

　　這就是莫比烏斯反演的式子了
　　那麼對於函式$\mu(n)$，由於$1$是積性函式，則$\mu$也是積性函式，又易知（代回原式就好了）

$\mu(p^k) = \left\{\begin{aligned} 1 \ \ \ \ k = 0 \\ - 1 \ \ \ \ k = 1 \\ 0 \ \ \ \ k > 1 \end{aligned}\right.$

　　那麼由積性函式，可得
　　- 若$n = p_1p_2...p_k$且$p_1 \ne p_2 \ne ... \ne p_k$，則有

$\mu(n) = (- 1)^k$

　　- 若$p_k^r | n (r > 1)$，則有

$\mu(n) = 0$

　　那麼積性篩即可