題目描述

Alice 和 Bob 兩個人正在玩一個遊戲，遊戲有很多種任務，難度為 p 的任務（p是正整數），有 1/(2^p) 的概率完成並得到 2^(p-1) 分，如果完成不了，得 0 分。一開始每人都是 0 分，從 Alice 開始輪流做任務，她可以選擇任意一個任務來做；而 Bob 只會做難度為 1 的任務。只要其中有一個人達到 n 分，即算作那個人勝利。求 Alice 採取最優策略的情況下獲勝的概率。

輸入格式

一個正整數 n ，含義如題目所述。

輸出格式

一個數，表示 Alice 獲勝的概率，保留 6 位小數。

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1

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0.666667

備註

【資料範圍】 對於 30% 的資料，n≤10 對於 100% 的資料，n≤500

分析

概率dp入門題 定義 $f[i][j]$ 表示Alice有 i 分，Bob有 j 分時，Alice獲勝的最大概率 顯然 $f[n][i]=1$ (i $\subseteq {0,1,2,...,n}$) 最後我們要求的就是$f[0][0]$ 怎麼轉移呢？ 令$2^{p-1}=k$，我們列舉Alice下一步的得分（因為Bob只有0和1兩種分值） 由題可知，得到這部分分的概率是 $\frac{1}{2^p}=\frac{1}{2*k}$

$f[i][j]=f[i+k][j]/4k+f[i+k][j+1]/4k+f[i][j+1]*(2k-1)/4k+f[i][j]*(2k-1)/4k$ 除以4k的原因就是有1/2是Bob的，還有1/2*k是Alice的 然後再合併同類項，把右邊的$f[i][j]$移到左邊，就可以得到

$f$

程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n; 
double f[505][505];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int i,j,k;
	for(i=0;i<=n;++i) f[n][i]=1;
	for(i=n-1;i>=0;--i)
		for(j=n-1;j>=0;--j){
			double tmp=-1;
			for(k=1;k/2<=n;k<<=1){
				int nxt=min(i+k,n);
				tmp=max(tmp,(f[nxt][j]+f[nxt][j+1]+(2*k-1)*f[i][j+1])/(2*k+1));
			}
			f[i][j]=tmp;
		}
	printf("%.6lf",f[0][0]);
}