（遞推打表）牛客練習賽25 C再編號
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來源：牛客網
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64bit IO Format: %lld
題目描述
n 個人，每個人有一個編號 ai 。
定義對 a 的再編號為 a' ，滿足 。
現在有 m 次詢問，每次給定 x,t ，表示詢問經過 t 次再編號後第 x 個人的編號。
由於答案可能很大，所以對 109+7 取模。
輸入描述:
第一行 2 個數 n,m ，表示人數和詢問次數； 接下來一行 n 個數，表示 ai ； 接下來 m 行，每行 2 個數 x,t ，描述一次詢問。
輸出描述:
m 行，第 i 行 1 個數表示第 i 次詢問的答案對 109+7 取模的結果。
示例1
輸入
4 3 1 2 3 4 1 0 2 2 4 1
輸出
1 22 6
說明
初始編號：1 2 3 4 1 次再編號後：9 8 7 6 2 次再編號後：21 22 23 24
備註:
n ≤ 100000 , m ≤ 10000 , t ≤ 100000 , 1 ≤ ai ≤ 10^9
這道題乍一看，需要對區間每一個數更新，更新的次數最大是10000。對每一個數暴力更新是肯定不行的，實際上也用不上什麼資料結構能夠優化操作，必須要想辦法不需要每一次對每一個數更新。要麼減少更新的次數，要麼減少每次更新的數量。
後者當然是不可能的，所以我們必須減少更新的次數。於是我們思考，每一次更新是否有共同點，或者有什麼規律可循。令sum為數列中所有數的和，經過了一次變化後，第 i 項的值 ai 變成了 sum - ai。 第二次變化的時候變成了 n * sum - sum+ai。
隨後我便開竅了，變化前的表示式中 ai 這個值變化後肯定會變為 sum（並且與原來的 ai 同號） ，同時 sum 這個值會乘以n，這個很好理解因為我們必須把每一個 ai 都加起來，並且，表示式中不會出現其他的項，同時 ai 的項係數肯定是1。這個時候我想到了用矩陣快速冪，只需要知道sum 和 ai 的關係轉化式就可以了。
矩陣長這個樣子：
| sum | ai | |
| sum | n-1 | 1 |
| ai | 0 | -1 |
關於矩陣的運算，稍微進行一下普及，雖然我之前寫過一個關於矩陣快速冪水題的文章，但是沒有介紹矩陣快速冪的原理和本質。
講到矩陣，其實就是轉化的過程。記住 現有的狀態 * 矩陣=轉化後的狀態。就以當前我所畫的這個矩陣為例，假設我們有一個向量 x=（2,1）這個向量中兩個數字的含義是（sum ，ai） 也就是說 x=2*sum+ai。
那麼 x 現在的狀態就用這個向量來表示。那麼當這個向量乘以這個矩陣的時候，就意味著 x 向量要根據矩陣當中的值來轉化。矩陣的 i 行 j 列，表示了元素 i 對 元素 j 的影響因子。那麼當前這個矩陣就意味著，sum（轉化前）對sum（轉化後）的影響因子是n-1，ai 對 sum 的影響因子為1 ai 對 ai 的影響因子是 -1 。
那麼 x = 2*sum + ai 就會變為 x = ( (n-1)*2+1*1 )*sum + (-1*1)*ai。
普及完畢，我知道自己講的可能很不清楚，不過之後我會單獨寫一篇文章講矩陣運算。
剛剛開始的時候我們式子中只有一個 ai 所以向量為 (0,1)，隨後我們根據輸入知道需要轉化 t 次，只要乘多少次矩陣就可以了。不過矩陣是可以像普通的快速冪一樣來求的。假設有矩陣 m 和向量 v ，向量 v 轉化兩次 可以寫成 m*m*v 也可以寫成 m^2*v（注意矩陣運算時從右往左算所以第一個式子先算 m*v 再乘以 m）
那麼給出程式碼。
#include<stdio.h>
const int N=100;
const long long mod=1e9+7;
typedef long long LL;
struct state{
LL t[N][N];
};
struct vect{
int t[N];
};
/*建立矩陣*/
void createm(state &a,int n,long long shit){
a.t[0][0]=shit-1;
a.t[0][1]=1;
a.t[1][0]=0;
a.t[1][1]=-1;
}
/*建立初始向量(0,1)*/
void init(state &a){
a.t[0][0]=0;
a.t[0][1]=0;
a.t[1][0]=1;
a.t[1][1]=0;
}
/*矩陣乘法*/
state matrixm(state a,state b,int n){
int i,j,k;
state temp={0};
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
for(k=0;k<n;k++)
temp.t[i][j]=(temp.t[i][j]+a.t[i][k]*b.t[k][j])%mod;
return temp;
}
/*快速冪*/
state quick_pow(state a,int n,int len){
int i,j;
state temp={0};
for(i=0;i<len;i++)
temp.t[i][i]=1;
while(n){
if(n&1) temp=matrixm(a,temp,len);
a=matrixm(a,a,len);
n/=2;
}
return temp;
}
int main(){
state map;
long long n,max=2,m,sum;
int i,j,x,t;
while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF){
createm(map,2,n);
sum=0;
for(i=0;i<n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
sum=(sum+a[i])%mod;
}
for(int k=0;k<m;k++){
scanf("%d%d",&x,&t);
state shit=quick_pow(map,t,max);
state shit2;
init(shit2);
shit2=matrixm(shit,shit2,max);
/*最後的結果應該是兩項的和*/
LL ans=(sum*shit2.t[0][0]%mod+a[x-1]*shit2.t[1][0]%mod+mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
不夠，這個程式碼交上去只能過30%的樣例。也就是說矩陣計算超時了。但是不用方，我們既然已經知道了遞推的方法，我們就可以用別的辦法來寫，有時矩陣只是給我們一種遞推的思維和公式。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int a[100010];
long long c[100010];
int main(){
int n,m;
c[0]=0;
c[1]=1;
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=2;i<=100000;i++){
/*打表計算每一項的sum和ai的係數*/
if(i%2==0){
c[i]=((n-1)*c[i-1]-1+mod)%mod;
}
else{
c[i]=((n-1)*c[i-1]+1+mod)%mod;
}
}
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
sum+=a[i];
}
sum%=mod;
int x,y;
while(m--){
scanf("%d %d",&x,&y);
if(y%2==0)
printf("%lld\n",(sum*c[y]+a[x]+mod)%mod);
else
printf("%lld\n",(sum*c[y]-a[x]+mod)%mod);
}
}