(遞推/高精度)P1066 2^k進位制數
阿新 • • 發佈:2018-11-29
題目較長,只看體面啥都沒看懂,幸虧下面解釋了一下,知道應該怎麼做的思路
先按樣例一樣分析只滿足W/k=2的時候,可以得出最高位為1時,第二位可以從[2,2^k),最高位為2時,最高位可以為[3,2^k)…[2^k-1,2^k)。
當W/k=3時,最高位為1時既是上一次W/k=2時計算出來的最高位為2及以後的值的和,最高位為2時即是W/k=2時計算出的最高位為3及以後的值…
可以寫出遞推公式f[i][j]表示長度為i的最高位的值,則f[i][j] = f[i - 1][j + 1] + f[i-1][j + 2] + …
記住算出來的值必須用高精度存
> 用遞推的程式碼複雜度不夠優秀,最後一個點t了,開o2能過,再優化一下 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsigned long long ll; struct bignum { static const int Base = 100000000; static const int Width = 8; vector<int> s; bignum(ll num = 0) { *this = num; } bignum operator = (ll num) { s.clear(); do { s.emplace_back(num % Base); num /= Base; } while (num > 0); return *this; } bignum operator +(const bignum& b) const { bignum c; c.s.clear(); for(int i = 0, g = 0; ; i++) { if(g == 0 && i >= s.size() && i >= b.s.size()) break; int x = g; if(i < s.size()) x += s[i]; if(i < b.s.size()) x += b.s[i]; c.s.emplace_back(x % Base); g = x / Base; } return c; } void print() { printf("%d", s.back()); for(int i = s.size() - 2; i >= 0; i--) { char buf[200]; sprintf(buf, "%08d", s[i]); int len = strlen(buf); for(int j = 0; j < len; j++) putchar(buf[j]); } } }; bignum f[600][600]; //1<<9 = 512 int main() { int k, W; scanf("%d%d", &k, &W); int max_val = 1 << k; bignum ans = 0; for(int i = 2; i < max_val; i++) f[1][i] = 1; for(int i = 2; i <= W / k; i++) for(int j = 1; j <= max_val - i; j++) { for(int k = j + 1; k <= max_val - i + 1; k++) f[i][j] = f[i][j] + f[i - 1][k]; ans = ans + f[i][j]; } if(W % k != 0) for(int i = 1; i < (1 << (W % k)); i++) { for(int j = i + 1; j <= max_val - W / k; j++) f[W / k + 1][i] = f[W / k + 1][i] + f[W / k][j]; ans = ans + f[W / k + 1][i]; } ans.print(); puts(""); }
時間複雜度不夠優秀,組合數學又推不來,只有慢慢優化程式了
發現dp[i][j]需要計算dp[i-1][j+1~邊界],我們可以先計算在j=1時把需要求的值先算出來,之後dp[i][j+1]時把已經計算出來的值減去dp[i - 1][j + 1]即可,可以縮小一次迴圈的複雜度
在大數裡面加上減法就行
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef unsigned long long ll; struct bignum { static const int Base = 100000000; static const int Width = 8; vector<int> s; bignum(ll num = 0) { *this = num; } bignum operator = (ll num) { s.clear(); do { s.emplace_back(num % Base); num /= Base; } while (num > 0); return *this; } bignum operator +(const bignum& b) const { bignum c; c.s.clear(); for(int i = 0, g = 0; ; i++) { if(g == 0 && i >= s.size() && i >= b.s.size()) break; int x = g; if(i < s.size()) x += s[i]; if(i < b.s.size()) x += b.s[i]; c.s.emplace_back(x % Base); g = x / Base; } return c; } bignum operator -(const bignum& b) const { bignum c; c.s.clear(); bool below = false; for(int i = 0, x; i < s.size(); i++) { x = s[i]; if(i < b.s.size()) x -= b.s[i]; if(below) x--, below = false; if(x == 0 && i == s.size()) break; if(x < 0) below = true, x += Base; c.s.emplace_back(x); } return c; } void print() { printf("%d", s.back()); for(int i = s.size() - 2; i >= 0; i--) { char buf[200]; sprintf(buf, "%08d", s[i]); int len = strlen(buf); for(int j = 0; j < len; j++) putchar(buf[j]); } } }; bignum f[600][600]; int main() { int k, W; scanf("%d%d", &k, &W); int max_val = 1 << k; bignum ans = 0; bignum tmp_sum; for(int i = 1; i < max_val; i++) f[1][i] = 1; for(int i = 2; i <= W / k; i++) { tmp_sum = 0; for(int j = 1; j <= max_val - i; j++) { if(j == 1) { for(int k = j + 1; k <= max_val - i + 1; k++) tmp_sum = tmp_sum + f[i - 1][k]; ans = ans + (f[i][j] = tmp_sum); } else { tmp_sum = tmp_sum - f[i - 1][j]; ans = ans + (f[i][j] = tmp_sum); } } } if(W % k != 0) for(int i = 1; i < (1 << (W % k)); i++) { for(int j = i + 1; j <= max_val - W / k; j++) f[W / k + 1][i] = f[W / k + 1][i] + f[W / k][j]; ans = ans + f[W / k + 1][i]; } ans.print(); puts(""); }