IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic（IEEE 754，Institute of Electrical and Electronics Engineers）是1985年建立的浮點數計算的技術標準。解決了原來浮點數實現不一致的問題，許多硬體浮點數處理單元使用IEEE 754標準。

1 基本和交換格式（basic and interchange format）

IEEE 754定義了5種基本格式，binary32也叫單精度（single-precision），binary64也叫雙精度（double precision）。

2 單精度浮點數（Single-precision floating-point format，binary32）

一個binary32包括，1（符號位，sign bit） + 8（指數位，exponent width） + 24（有效精度，significand precision），明確的significand是23位。

注意下面的值：
$1+2^{-}$

計算公式，指數需要減127，小數位需要加1（湊夠24位）
$value = (-1)^{sign} \times 2^{e - 127} \times \left(1 + \sum_{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}\right)$
上圖中：
$value = (-1)^0 \times 2^{-3} \times 1.25 = 0.15625$

• 指數位編碼（exponent encoding）

指數位編碼採用offset-binary表示，binary32的0偏移（zero offset）是127，在IEEE 754標準中也叫exponent bias。

為了得到真實的exponent，計算時e需要減去127。指數位範圍為-126 ~ +127，即0111 1111表示指數位是127 - 127 = 0。指數位0000 0000和1111 1111有特殊含義。

0000 0000時，significand = 0，此時value = 0（也可能是-0）。significand != 0，此時significand不再加1，表示非常小（接近0）的數字。
1111 1111時，significand = 0，此時value = infinity（也可能是-infinity）。significand != 0，此時value = NaN。

Decimal digits是： $24\times log_{10}2 \approx 7.22$
Decimal E max是： $127\times log_{10}2\approx 38.23$
最小的正常正數是： $2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}$
最小的正數（指數位全0）是： $2^{-149} \approx 1.4^{-45}$
最大正數是： $(2 - 2^{-23}) \times 2^{127} \approx 3.4\times10^{38}$

3 雙精度浮點數（Double-precision floating-point format， Binary64）

一個binary64包括，1（符號位，sign bit） + 11（指數位，exponent width） + 53（有效精度，significand precision），明確的significand是52位。

注意下面的值：
$2^{-52} \approx 2.2 \times 10^{-16}$，
$2^{-1022} \approx 2.2 \times 10^{-308}$，
$2^{+1023} \approx 9.0 \times 10^{+307}$

計算公式，指數需要減1023，小數位需要加1（湊夠53位）
$value = (-1)^{sign} \times 2^{e - 1023} \times \left(1 + \sum_{i=1}^{52}b_{52-i}2^{-i}\right)$

Binary64的指數位編碼（exponent encoding）的0偏移（zero offset）是1023，指數位範圍為-1022 ~ +1023，即0111 1111表示指數位是127 - 127 = 0。指數位 000 0000 0000和111 1111 1111有特殊含義，參考Binary32。

Decimal digits是： $24\times log_{10}2 \approx 15.95$
Decimal E max是： $127\times log_{10}2\approx 307.95$
最小的正常正數是： $2^{-1022} \approx 2.2 \times 10^{-308}$
最小的正數（指數位全0）是： $2^{-1074} \approx 5^{-324}$