引言

我們日常生活的空間是三維的，因此我們生來就習慣於空間的運動。三維空間由三個軸組成，所以一個空間點的位置可以由3個座標指定。不過，我們現在要考慮剛體，它不光有位置，還有自身的姿態。以下，就是對剛體姿態的相關學習的筆記。

旋轉矩陣

表示座標系`O-x'y'z'`中的向量座標變換為同一向量在座標系`O-xyz`中的座標的變換矩陣（transformation matrix）。

• 旋轉矩陣屬於特殊正交群（special orthonormal group）；正交矩陣，每一列為單位矩陣，行列式為1。
• 描述了兩個座標系之間的相對指向。
• 表示了同一點在不同座標系下（原點相同，即只有轉動，沒用平動）的座標之間的座標變換。 - 是將向量在同一座標系下進行旋轉的運算元。 

缺點：旋轉矩陣表示三個自由度就需要9個量，因此這種表示方式太冗餘。

軸/角（Axis-Angle）

描述一個座標系沿某一條直線旋轉一定的角度，即與另一個座標系重合。

其實軸-角對與尤拉角(個人認為)是有一定的關係的。因為尤拉角說的是分別(注意：是分別)繞(以世界座標系為參考座標系的)三個軸旋轉一定的角度。其實這三次的旋轉可以最終轉換到一次變換。即：最終可表示為：繞某一旋轉軸旋轉一定角度的變換。(意思就是說：那三次變換我們最終可以計算出旋轉軸以及繞該旋轉軸旋轉的角度量)。

缺點：軸-角對錶示法：插值不平滑，可能會有跳躍。(文件上說，尤拉角同樣存在這個問題)
優點：可解決尤拉角的萬向鎖問題。

尤拉角

尤拉角指的是：以世界座標系為參考座標系(一定記住是世界座標系)，使用x,y,z三個值來分別表示繞(世界的)x軸、y軸、z軸旋轉的角度量值。其取值是在[0, 360]間。一般用roll, pitch, yaw來表示這些分量的旋轉值。因為是以世界座標系為參考座標系，因此每一次的旋轉都不會影響到後續的旋轉轉軸。即：它無法表示任意軸的旋轉。
  1) 優點：
    理解起來很直觀。
  2) 缺點：
    會有萬向鎖問題。

  尤拉角相關視訊講解連結：

四元數定義：q = w + xi + yj + zk

  注意：
    1) 四元數可以歸一化，並且只有歸一化的四元數才用來描述旋轉
    2) 四元數與軸-角對很像。因為四元數描述的也是一個旋轉軸與一個繞著該旋轉軸旋轉的量值(即：角度或弧度)。但四元數與軸-角對不等價。它們的關係如下：
      假如：軸-角對的值如下：
      軸為：n
      角為：theta
      則，對應的四元數中的w、x、y、z的值分別為：
      w = cos(theta / 2)
      x = nx * sin(theta / 2)  // nx 是軸 n 的 x 分量
      y = ny * sin(theta / 2)  // ny 是軸 n 的 y 分量
      z = nz * sin(theta / 2)  // nz 是軸 n 的 z 分量

    3) 四元數的乘法意義：
    Q = Q1 * Q2表示的是：Q先做Q2的旋轉，再做Q1的旋轉的結果，而且多個四元數的旋轉也是要以合併的。
    4) 四元數做一次乘法需要16次乘法和加法，而3x3矩陣需要27次。所以有多次旋轉操作時，使用四元數計算效率更高些。
    5) 四元數的插值過度平滑。最常用的是線性插值。

    四元數相關的視訊講解：https://www.bilibili.com/video/av3741034/

參考資料：[書].視覺SLAM十四講

參考文章：https://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/74942989（旋轉矩陣、尤拉角、四元數、軸/角之間的轉換）

                  http://www.cppblog.com/Tongy0/archive/2012/09/10/190126.html（旋轉矩陣、尤拉角、四元數、軸/角之間的比較）