MT【223】二次函數最大最小
若函數$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$對任意實數$t$,在閉區間$[t-1,t+1]$上總存在兩實數$x_1,x_2$,使得$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$成立,則實數$a$的最小值為____
解答:記$h(t)=\max\limits_{x_1,x_2}\{|f(x_1)-f(x_2)|\}$,由題意$h(t)_{min}\ge8$
$\because 2a=f(t+1)+f(t-1)-2f(t)\le 2f(x)_{max}-2f(x)_{min}=2h(t),\therefore h(t)_{min}= a\ge8$
註:本題在很多模擬題中出現，但目前市面上的參考答案裏筆者沒有發現一種方法比我這裏展現的在不失嚴格性的前提下更簡潔.
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