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BZOJ4785

題解

肝了一個下午QAQ沒寫過二維線段樹還是很難受

首先題目中的樹狀數組實際維護的是後綴和，這一點憑分析或經驗或手模觀察可以得出
在\(\mod 2\)意義下，我們實際求出的區間和是\([l - 1,r - 1]\)，和\([l,r]\)唯一不同的就在於\(l - 1\)和\(r\)
所以每個詢問實際是詢問兩個位置值相同的概率

我們把詢問看做二元組\((a,b)\)，其中\(a \le b\)，我們要維護\((a,b)\)不同的概率【至於為什麽是不同而不是相同，等下說】
初始概率都為\(0\)
對於修改操作\([l,r]\)
當\(a \in [1,l - 1]，b \in [l,r]\)

所以我們可以使用二維線段樹維護這些區域的概率值
如果原不等概率為\(p_0\)，現在有\(p_1\)的概率改變不等關系
那麽新的概率\(p‘ = p_0(1 - p_1) + (1 - p_0)p_1 = p_0 + p_1 - 2p_0p_1\)
我們記其為概率的合並
經計算可以得出，這樣的合並滿足交換律，結合律，單位元

二維線段樹標記永久化的姿勢：
內層線段樹將標記儲存在路徑上的節點中
外層線段樹則通過在修改中途訪問內層線段樹而就此停止，在詢問時詢問路徑上所有的內層線段樹即可

還要註意空間大小，\(O(nlog^2n)\)要開足夠大的空間

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
 

#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 500005,maxm = 40000005,INF = 1000000000,P = 998244353;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57){if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
    return out * flag;
}
int qpow(int a,int b){
    int re = 1;
    for (; b; b >>= 1,a = 1ll * a * a % P)
        if (b & 1) re = 1ll * re * a % P;
    return re;
}
int inv(int x){return qpow(x,P - 2);}
int merge(int x,int y){
    return (((x + y) % P - 2ll * x * y % P) + P) % P;
}
int n,m,ls[maxm],rs[maxm],val[maxm],rt[maxn << 2],cnt,ans;
void modify(int& u,int l,int r,int L,int R,int v){
    if (!u) u = ++cnt;
    if (l >= L && r <= R){
        val[u] = merge(val[u],v);
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= L) modify(ls[u],l,mid,L,R,v);
    if (mid < R) modify(rs[u],mid + 1,r,L,R,v);
}
void query(int u,int l,int r,int pos){
    if (!u) return; ans = merge(ans,val[u]);
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= pos) query(ls[u],l,mid,pos);
    else query(rs[u],mid + 1,r,pos);
}
void Modify(int u,int l,int r,int L,int R,int ll,int rr,int v){
    if (l >= L && r <= R){
        modify(rt[u],1,n,ll,rr,v);
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= L) Modify(u << 1,l,mid,L,R,ll,rr,v);
    if (mid < R) Modify(u << 1 | 1,mid + 1,r,L,R,ll,rr,v);
}
void Query(int u,int l,int r,int Pos,int pos){
    if (rt[u]) query(rt[u],1,n,pos);
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= Pos) Query(u << 1,l,mid,Pos,pos);
    else Query(u << 1 | 1,mid + 1,r,Pos,pos);
}
int main(){
    //freopen("in.in","r",stdin);
    //freopen("out1.txt","w",stdout);
    n = read(); m = read();
    int opt,l,r,len,p;
    while (m--){
        opt = read(); l = read(); r = read();
        if (opt & 1){
            len = r - l + 1; p = inv(len);
            if (l > 1){
                Modify(1,1,n,1,l - 1,l,r,p);
                modify(rt[0],1,n,1,l - 1,1);
            }
            if (r < n){
                Modify(1,1,n,l,r,r + 1,n,p);
                modify(rt[0],1,n,r + 1,n,1);
            }
            Modify(1,1,n,l,r,l,r,2 * p % P);
            modify(rt[0],1,n,l,r,(1 - p + P) % P);
        }
        else {
            ans = 0;
            if (l > 1) Query(1,1,n,l - 1,r);
            else query(rt[0],1,n,r);
            printf("%d\n",(1 - ans + P) % P);
        }
    }
    return 0;
}

BZOJ4785 [Zjoi2017]樹狀數組 【二維線段樹 + 標記永久化】