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LOJ #2145

題解

一道畫風正常的……期望DP？

首先考慮如何以最小步數熄滅所有燈：貪心地從大到小枚舉燈，如果它亮著則修改它。可以求出總的最小步數，設為\(cnt\)。

然後開始期望DP。設\(dp[i]\)為當前最小步數是\(i\)，總最小步數是\(i\)，要達到最小步數是\(i - 1\)的狀態，期望要走多少步。則有\(\frac{i}{n}\)的幾率恰好走了該走的一步，而有\(\frac{n - i}{n}\)的幾率走錯了（回到了\(dp[i + 1]\)表示的狀態）。

則：\[dp[i] = \frac{i}{n} + \frac{n - i}{n}(1 + dp[i + 1] + dp[i])\]

就可以推出來了。

答案就是：\((\sum_{i = k + 1}^{cnt} dp[i] + min(cnt, k)) * n!\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
using namespace
 
 std;
typedef long long ll;
template <class T>
void read(T &x){
    char c;
    bool op = 0;
    while(c = getchar(), c < '0' || c > '9')
    if(c == '-') op = 1;
    x = c - '0';
    while(c = getchar(), c >= '0' && c <= '9')
    x = x * 10
 
 + c - '0';
    if(op) x = -x;
}
template <class T>
void write(T x){
    if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}

const int N = 100005, P = 100003;
int n, m, a[N], cnt;
ll dp[N], ans;

ll qpow(ll a, ll x){
    ll ret = 1;
    while(x){
    if(x & 1) ret = ret * a % P;
    a = a * a % P;
    x >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main(){

    read(n), read(m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
    for(int i = n; i; i--)
    if(a[i]){
        cnt++;
        for(int j = 1; j * j <= i; j++)
        if(i % j == 0){
            a[j] ^= 1;
            if(j * j < i) a[i / j] ^= 1;
        }
    }
    for(int i = n; i; i--)
    dp[i] = 1 + (n - i) * qpow(i, P - 2) % P * (1 + dp[i + 1]) % P;
    for(int i = cnt; i > m; i--)
    ans = (ans + dp[i]) % P;
    ans = (ans + min(cnt, m)) % P;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    ans = ans * i % P;
    write(ans), enter;

    return 0;
}

LOJ #2145. 「SHOI2017」分手是祝願