二叉樹及其實現(基礎版)
前言：常見的數據結構都有指針和數組兩種實現方式，這篇先介紹指針實現，而數組實現在後續文章裏會講到。
（長文預警！）
說完了一般的樹，我們再來看看二叉樹，這是一種很典型的樹，它的所有節點度數都不超過2，最多只有兩個孩子。這是一種特例，但是後面我們會看到在保證有序性和有根性之後，它卻足以描述所有的樹。每個節點的出度最多為2，在之前對所有節點按照深度劃分的等價類，從規模上看就構成了一個公比為2的等比數列，相應地，深度為k（第k層）的節點，最多有2^k個。那麽對於含n個節點、高度為h的二叉樹中（這裏再多說一句，高度指的是：除了根節點，下面有幾層高度就是幾，回想一下，空樹高度是-1，一個根節點高度為0。），滿足這樣一個條件：
h<n<2^h+1。
這個性質很好證明。對於上界的情況，樹的每一層都是滿的，所以從根到第n層累加，總數=1+2+4+…+2^n=2^(n+1)-1，也就是右半部分。而下界情況，根據定義每層至少有一個節點，所以一共h+1個，這種情況下，樹就退化為一條單鏈。
具體來說一下上界的情況，在這個時候節點個數n=2^h-1，是一顆滿樹，那每一層（每一個等價類）都會到達飽和狀態。它的橫向上的寬度與在縱向上的高度是呈指數關系的——h=log(W)，高度會增長的很慢。
相關實現
討論了二叉樹的基本信息後，就該進入正題了，Talk is cheap,show me the code。現在來談談怎麽在計算機中實現一棵二叉樹。談一個東西的實現不能脫離實際背景，不然就成了空中樓閣，二叉樹也有很多種，比如最大堆，最小堆，優先隊列，搜索樹，這裏給出一個其中一個二叉樹的具體例子。首先需要知道的是，二叉樹的一個重要應用是他們在查找（搜索）中的使用，那為什麽查找往往要依靠樹形結構呢？這是很自然的一個問題，前面的文章中我們說過，樹結構對靜態和動態操作的支持都是十分迅速的，因此是這種高效性使得樹結構成為了搜索的“天選之人”。這也告訴我們，如果自身很強，那麽遇到機會時才有可能把握住，機會是留給有準備的人（突然雞湯2333）。
假設樹中的每個節點內部存了一個值，任何復雜的值都可以，不過這裏為了簡單起見，讓它們都是int型，同時假設他們是互異的，以後我們再處理有重復值的情形。我們要進行一些操作的前提是：知道規則，有了規則，操作的步驟就一目了然了，這是老師在課上反復強調的。那搜索樹的規則就是——對於每個節點X（作為根），左子樹中存的所有值都小於X存的值；右子樹的所有值都大於X的值。也就是從小到大依次是左-根-右，就像這樣：
這個性質要引起註意，這意味著樹中的所有元素可以用統一的方式排序。為什麽要這樣說？因為樹是遞歸構造的，其中每一棵子樹中都滿足這個性質，那我們的排序過程就可以逐步分解到最小的子樹中，每個被分解的部分和原來的總體都是“性質相同的子問題”這樣一種關系，所以可以用統一的方法，從最小的子問題推而廣之，直至解決整個問題。
現在具體說說怎麽實現他們，由於樹是遞歸定義的，所以通常遞歸地編寫操作函數，前面說了，二叉樹的平均深度是多少來著？忘的話往上翻翻。由於平均深度增長地很慢，所以我們不必擔心棧空間被用盡（emmm這怎麽突然提到棧了，忘了的話去前面講棧的文章裏翻翻）。先給出一般性的結點聲明
1 struct BinNode;
2 typedef struct BinNode *Position; //只需要拿到某個單結點時用它表示
3 typedef struct BinNode *SearchTree; //對整棵樹操作時，用它表示返回類型
4
5 struct BinNode{
6 int Value;
7 SearchTree Left,Right;
8 };
這裏又遇到和鏈表那裏一樣，用兩個typedef替換同一個類型的情況了，稍後我們會看到如此邏輯分層的優勢，它便於我們在大腦中構建一個清晰的搜索樹ADT模型。現在只要知道他們表示的都是一個指向二叉樹節點的指針就好了，只是所指示的側重有細微的不同。按照慣例，先說初始化的操作，然後說查找元素，最後就是重頭戲——插入和刪除了。每種結構都按這個順序來講解看似單調乏味，但這的確是我們從0搭建一個結構的必由之路，從簡到繁，自下而上這也符合人類的認知規律。
1 SearchTree MakeEmpty(SearchTree T){
2 if (T){
3 MakeEmpty(T->Left);
4 MakeEmpty(T->Right);
5 free(T);
6 }
7 return NULL;
8 }
給這個函數輸入一個節點作為根，然後在它不為空的情況下，逐層遞歸地銷毀它以下的所有子樹。註意到了吧，這裏用的是“SearchTree”來標識，因為置空後要返回的是一個根節點，實際上從整體理解，是以返回值為根的一整棵樹（當然這裏是空樹）。
再說查找，它要返回的是一個指針，指向我們所查的值所在的結點（既然只返回一個單一結點指針，自然用Position做返回類型更清晰），沒有的話就NULL。樹的結構使得這種操作很簡單，我們先分析一下大體策略：如果T是NULL，也就是走到某一個葉子結點仍然沒有找到，那就返回NULL；如果T中存的值是要查找的X，那麽返回T的地址；如果既沒找到，但也沒走到末尾（葉結點）時，就按照X和根節點的大小關系來逐層遞歸左或右子樹：如果比根小，左邊，否則右邊，這就很類似二分查找的思想。
1 Position Find(int X,SearchTree T){
2 if(T == NULL) return NULL; //如果走到葉子還沒找到，返回空
3 if (X < T->Value) return Find(X, T->Left); //如果給定值比根小，往左邊找
4 else if(X > T->Value) return Find(X , T->Right);//比根大就往右找
5 else return T; //這種情況就是某時X==T->Value，正好命中的情況
6 }
接著來說兩種Find的具體情況，分別是找最小最大值，這種遞歸寫法是很自然的，以至於深受喜愛，不過遞歸調用過多的話會占用大量資源，這是一個弊端，所以叠代和遞歸兩種方法都要熟稔於心。因此，我們用兩種方法編寫，FindMin（遞歸）和FindMax（叠代）。
1 Position FindMin(SearchTree T){
2 if(T == NULL) return NULL; //同上
3 else if (T->Left==NULL) return T; //左子樹空，意味著沒有比它更小的值了，直接返回地址
4 else return FindMin(T->Left); //如果上面兩個情況都不符合，接著往左找
5 }
1 Position FindMax(SearchTree T) {
2 if (T!=NULL) //沒有走到葉結點時尋找
3 while (T->Right!=NULL) //右邊還有子樹時一直往右走
4 T=T->Right;
5 return T; //這個return包含了兩種情形，如果傳入的是葉子，自動返回NULL，如果找到最右邊了，返回對應地址
6 }
同理，查找最小值的如果用叠代來寫，就是完全對稱的。
1 SearchTree FindMinByLoop(SearchTree T) {
2 if(T)
3 while (T->Left)
4 T=T->Left;
5 return T;
6 }
這裏要註意時如何處理空樹這種退化情形的，一定要小心。
接著就是兩大重頭戲——插入和刪除，我們慢慢討論，對於插入一個數X來講，從概念上很好理解：先用find查一下，看是不是已經存在，有的話就不用做什麽了（或者做一些修改）。如果沒有，就把X插到遍歷路徑的末尾。
比如對於這樣一棵樹
我們要插入66這個數，那麽就應該按下面這個路徑放置。
1 SearchTree Insert(SearchTree T,int X) {
2 if(!T){ //這是應對初始情況,空樹
3 T=(SearchTree)malloc(sizeof(struct BinNode));
4 T->Value=X;
5 T->Left=T->Right=NULL; //底部封口
6 }
7 //在一棵現成的樹裏插入，二分查找
8 else if (X < T->Value) T->Left=Insert(T->Left, X);
9 else if (X > T->Value) T->Right=Insert(T->Right, X);
10 //X==T->Value的情況什麽也不用做
11 return T;
12 }
而正如許多數據結構一樣，最困難的是刪除，因為這會涉及到好多種情況，我們都需要將其考慮在內。
- 節點是一片葉子
- 節點有一個兒子
- 節點有兩個兒子
分類討論，1.葉子的話就直接刪除。
2.只有一個兒子的話，就可以在它的父節點調整指針時繞過該節點後被刪除。
這棵樹中，刪除4
從父節點直接繞過去，bypass
而有兩個兒子的話情況就復雜了，一般來說是用它右子樹下最小的數據來代替該節點數據並遞歸刪除。因為右子樹下面最小的節點不可能有左兒子，所以第二次delete就更容易了。
總結起來就是：
search for v
if v is a leaf
delete leaf v
else if v has 1 child
bypass v
else replace v with successor
代碼如下
1 SearchTree Delete(int X,SearchTree T) {
2 Position TempCell;
3 if (T==NULL)
4 printf("Element not found\n");
5 //search for Value
6
7 else if(X<T->Value) T->Left=Delete(X, T->Left);
8 else if(X<T->Value) T->Right=Delete(X, T->Right);
9 //找到給定的X了，開始分類討論
10 else if(T->Left && T->Right){ //有兩個兒子的情況
11 TempCell=FindMin(T->Right); //找到右子樹下最小的數據
12 T->Value=TempCell->Value; //Replace
13 T->Right=Delete(T->Value, T->Right); //遞歸刪除
14 }
15 else{ //1個兒子or葉子的情況,可以統一起來，操作邏輯是一致的
16 TempCell=T;
17 if (T->Left==NULL) T=T->Right; //只有右孩子，就把父節點直接連到右邊
18 else if (T->Right==NULL) T=T->Left; //只有左孩子，就把父節點直接連到左邊
19 free(TempCell);
20 }
21 return T;
22 }
這裏0 or 1 children的情況在實現的時候統一寫了，不用再討論他們的差別了。因為即使是葉子，進入分支後也就相當於原來的T=T->Right效果變成了T=NULL，同樣達到了目的。如果我們一開始來寫，可能會多寫一條分支判斷是否為葉子，這樣代碼就顯得冗余了，也正因此我們需要慢慢品味上面這種寫法的精妙之處。
小零件我們都寫好了，下面就需要把他們粘合起來，形成一個有機的系統了。怎麽粘合才能讓他們各個部分有序而協調地運轉呢？先走誰後走誰的問題就涉及到了遍歷規則了，所以下面我們來討論樹的遍歷。
遍歷
樹的主要遍歷方式有四種：Pre/In/Post order和Level order,前者對應著深搜，後者對應廣搜。層序遍歷是按照離根節點的距離由遠及近地訪問。與層序不同，其他三種都是根據對根節點的訪問次序來劃分的。如果是先於左右子樹，那就是Preorder,如果是介於左右子樹之間，就是Inorder，如果是位於左右子樹遍歷之後，就是Postorder。
通過這張圖我們來對比記憶，下面詳細說明每種方法。
這是層序遍歷，結果是ADBFHCEG。它的思想是用一個隊列來維護，對於每個節點進行如下操作：
1.將這個節點入隊
2.打印後出隊
3.接著把該節點所有孩子按順序入隊
然後對所有孩子重復第2，3步，很顯然，這是用遞歸輕松解決的。
這是先序遍歷，而這條紅色的線有一個名字叫Euler tour，preorder的結果就是GDBFAHEIC。
postorder的話，就是FBDEIHCAG，inorder的結果是：DFBGEHIAC。
1 void PreOrder(SearchTree T) {
2 if(T){ //如果這顆子樹非空，就打印，否則把控制權還給上級
3 printf("%d ",T->Value);
4 PreOrder(T->Left);
5 PreOrder(T->Right);
6 }
7 }
中序的情況類似
1 void InOrder(SearchTree T){
2 if(T){
3 InOrder(T->Left);
4 printf("%d ",T->Value);
5 InOrder(T->Right);
6 }
7 }
後序同理，只是打印順序略有區別，這裏不再贅述。不過我要說的是，後序有一個妙用，就是計算樹的高度，當然其他方式也可以，不過後序最符合人的思維習慣。
1 int Height(SearchTree T){
2 //下面這兩句都是根據定義得出的
3 if(!T) return -1;
4 else return 1+max(Height(T->Left), Height(T->Right));
5 }
而層序遍歷就稍微復雜一些了，因為它涉及到如何判斷“某個節點是否被訪問”以及“如何按照遠近關系來行進”，這就需要我們為其指定一個優先級，故需要隊列。
1 void LevelOrder(SearchTree r) {
2 SearchTree current=r; //為了不修改根節點，新建一個指針作為光標
3 queue<SearchTree> q;
4 q.push(current); //把當前（根）節點入隊
5 //以下是廣搜的核心
6 while (!q.empty()) { //隊列非空時進行遍歷
7 current=q.front();
8 printf("%d ",current->Value);
9 q.pop(); //打印完則出隊
10 if (current->Left) //依次查看當前節點是否有後繼，有的話重復上述入隊過程，left,right or both
11 q.push(current->Left);
12 if (current->Right)
13 q.push(current->Right);
14 }
15 }
最後看一個具體的總實現，給出演示程序。
以這個為例，插入17，刪除72
就分別變成
和
1 //出於布局合理的考慮，把主函數放在中間。 2 #include <cstdio> 3 #include <cstdlib> 4 #include <ctime> 5 #include <queue> 6 using namespace std; 7 8 struct BinNode; 9 typedef struct BinNode *SearchTree; 10 typedef struct BinNode *Position; 11 struct BinNode{ 12 int Value; 13 SearchTree Left,Right; 14 }; 15 16 SearchTree root=NULL; 17 18 // Function signature 19 SearchTree Insert(SearchTree T,int X); 20 SearchTree Delete(int X,SearchTree T); 21 int Height(SearchTree T); 22 void PreOrder(SearchTree T); 23 void InOrder(SearchTree T); 24 void LevelOrder(SearchTree T); 25 void DisplayInfo(SearchTree t); 26 Position FindMax(SearchTree T); 27 Position FindMix(SearchTree T); 28 //Entrance 29 int main(){ 30 int n; 31 printf("Could you tell me what the tree looks like?(0 to complete)\n"); 32 while (scanf("%d",&n) && n) 33 root=Insert(root, n); 34 printf("\n"); 35 DisplayInfo(root); 36 printf("Which guys will be pushed?\n"); scanf("%d",&n); 37 root=Insert(root, n); DisplayInfo(root); 38 printf("Which value do you desire to remove?\n"); scanf("%d",&n); 39 root=Delete(n, root); 40 DisplayInfo(root); printf("\n"); 41 } 42 43 //接口內部一覽 44 SearchTree MakeEmpty(SearchTree T){ 45 if (T){ 46 MakeEmpty(T->Left); 47 MakeEmpty(T->Right); 48 free(T); 49 } 50 return NULL; 51 } 52 53 Position Find(int X,SearchTree T){ 54 if(T == NULL) return NULL; //如果走到葉子還沒找到，返回空 55 if (X < T->Value) return Find(X, T->Left); //如果給定值比根小，往左邊找 56 else if(X > T->Value) return Find(X , T->Right);//比根大就往右找 57 else return T; //這種情況就是某時X==T->Value，正好命中的情況 58 } 59 60 Position FindMin(SearchTree T){ 61 if(T == NULL) return NULL; //同上 62 else if (T->Left==NULL) return T; //左子樹空，意味著沒有比它更小的值了，直接返回地址 63 else return FindMin(T->Left); //如果上面兩個情況都不符合，接著往左找 64 } 65 66 void DisplayInfo(SearchTree t){ 67 printf("\nCurrently\nPre-order is :"); 68 PreOrder(t); printf("\n"); 69 printf("In-order is :"); 70 InOrder(t); printf("\n"); 71 printf("Level-order is :"); 72 LevelOrder(t); printf("\n"); 73 printf("Height is %d\n",Height(root)); 74 printf("The min is: %d\n",FindMin(root)->Value); 75 printf("The max is: %d\n",FindMax(root)->Value); 76 } 77 78 int Height(SearchTree T){ 79 //這兩句都是根據定義得出的 80 if(!T) return -1; 81 else return 1+max(Height(T->Left), Height(T->Right)); 82 } 83 SearchTree FindMinByLoop(SearchTree T) { 84 if(T) 85 while (T->Left) 86 T=T->Left; 87 return T; 88 } 89 90 Position FindMax(SearchTree T) { 91 if (T!=NULL) //沒有走到葉結點時尋找 92 while (T->Right!=NULL) //右邊還有子樹時一直往右走 93 T=T->Right; 94 return T; //這個return包含了兩種情形，如果傳入的是葉子，自動返回NULL，如果找到最右邊了，返回對應地址 95 } 96 97 SearchTree Insert(SearchTree T,int X) { 98 if(!T){ //這是應對初始情況,空樹 99 T=(SearchTree)malloc(sizeof(struct BinNode)); 100 T->Value=X; 101 T->Left=T->Right=NULL; //底部封口 102 } 103 //在一棵現成的樹裏插入，二分查找 104 else if (X < T->Value) T->Left=Insert(T->Left, X); 105 else if (X > T->Value) T->Right=Insert(T->Right, X); 106 //X==T->Value的情況什麽也不用做 107 return T; 108 } 109 SearchTree Delete(int X,SearchTree T) { 110 Position TempCell; 111 if (T==NULL) 112 printf("Element not found\n"); 113 //search for Value 114 115 else if(X<T->Value) T->Left=Delete(X, T->Left); 116 else if(X>T->Value) T->Right=Delete(X, T->Right); 117 //找到給定的X了，開始分類討論 118 else if(T->Left && T->Right){ //有兩個兒子的情況 119 TempCell=FindMin(T->Right); //找到右子樹下最小的數據 120 T->Value=TempCell->Value; //Replace 121 T->Right=Delete(T->Value, T->Right); //遞歸刪除 122 } 123 else{ //1個兒子or葉子的情況,可以統一起來，操作邏輯是一致的 124 TempCell=T; 125 if (T->Left==NULL) //只有右孩子，就把父節點直接連到右邊 126 T=T->Right; 127 else if (T->Right==NULL){ //只有左孩子，就把父節點直接連到左邊 128 T=T->Left; 129 } 130 free(TempCell); 131 } 132 return T; 133 } 134 135 136 void PreOrder(SearchTree T) { 137 if(T){ //如果這顆子樹非空，就打印，否則把控制權還給上級 138 printf("%d ",T->Value); 139 PreOrder(T->Left); 140 PreOrder(T->Right); 141 } 142 } 143 void InOrder(SearchTree T){ 144 if(T){ 145 InOrder(T->Left); 146 printf("%d ",T->Value); 147 InOrder(T->Right); 148 } 149 } 150 151 void LevelOrder(SearchTree r) { 152 SearchTree current=r; //為了不修改根節點，新建一個指針作為光標 153 queue<SearchTree> q; 154 q.push(current); //把當前（根）節點入隊 155 //以下是廣搜的核心 156 while (!q.empty()) { //隊列非空時進行遍歷 157 current=q.front(); 158 printf("%d ",current->Value); 159 q.pop(); //打印完則出隊 160 if (current->Left) //依次查看當前節點是否有後繼，有的話重復上述入隊過程，left,right or both 161 q.push(current->Left); 162 if (current->Right) 163 q.push(current->Right); 164 } 165 }
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