【bzoj2770】YY的Treap 權值線段樹
題目描述
誌向遠大的YY小朋友在學完快速排序之後決定學習平衡樹,左思右想再加上SY的教唆,YY決定學習Treap。友愛教教父SY如砍瓜切菜般教會了YY小朋友Treap(一種平衡樹,通過對每個節點隨機分配一個priority,同時保證這棵平衡樹關於priority是一個小根堆以保證效率)。這時候不怎麽友愛的510跑了出來,他問了YY小朋友一個極不和諧的問題:怎麽求Treap中兩個點之間的路徑長度。YY秒了之後決定把這個問題交給你來做,但只要求出樹中兩點的LCA。
輸入
第一行兩個整數n,m
第二行n個整數表示每個元素的key
第三行n個整數表示每個元素的priority
接下m行,每行一條命令
I A B,插入一個元素,key為A, priority為B
D A,刪除一個元素,key為A
Q A B,詢問key分別為A和B的LCA的key
輸出
對於每個Q輸出一個整數。
樣例輸入
2 1
1 2
4 5
Q 1 2
樣例輸出
1
題解
權值線段樹
一個小結論:不妨設$a\le b$,則Treap中權值為$a$、$b$兩點的LCA為權值在$[a,b]$之間,優先級最小的點。
證明:
1.LCA的權值在$[a,b]$之間:考慮從$a$、$b$找到LCA的最後一步:一定是$a$在LCA的非右子樹,$b$在LCA的非左子樹。否則$a$、$b$在同子樹內則LCA可以為更優的該兒子節點。
2.權值在$[a,b]$之間的節點一定都在LCA的子樹內:如果不在LCA的子樹內,那麽節點如果在LCA右側則一定大於$b$,或在LCA左側則一定小於$a$。
3.LCA的子樹中所有節點的優先級都小於等於LCA:證明顯然。
4.LCA一定在LCA的子樹內:證明顯然。
因此由1、2、3、4得證。
於是只需要對每個數的key維護權值線段樹,維護權值在某區間內的數的優先級最小值及其位置。查詢時直接區間查詢即可。
為了避免一些細節問題(比如兩個int加起來爆int之類的),代碼中使用了離線離散化。
時間復雜度$O(n\log n)$。
#include <cstdio> #include <utility> #include <algorithm> #define N 100010 #define lson l , mid , x << 1 #define rson mid + 1 , r , x << 1 | 1 #define id(x) lower_bound(v + 1 , v + tot + 1 , x) - v #define inf 0x7fffffff using namespace std; typedef pair<int , int> pr; int key[N] , pri[N] , opt[N * 3] , qx[N * 3] , qy[N * 3] , v[N << 2] , tot; pr mn[N << 4]; char str[5]; void build(int l , int r , int x) { mn[x] = pr(inf , inf); if(l == r) return; int mid = (l + r) >> 1; build(lson) , build(rson); } void insert(int p , int v , int l , int r , int x) { if(l == r) { mn[x] = pr(v , p); return; } int mid = (l + r) >> 1; if(p <= mid) insert(p , v , lson); else insert(p , v , rson); mn[x] = min(mn[x << 1] , mn[x << 1 | 1]); } void erase(int p , int l , int r , int x) { if(l == r) { mn[x] = pr(inf , inf); return; } int mid = (l + r) >> 1; if(p <= mid) erase(p , lson); else erase(p , rson); mn[x] = min(mn[x << 1] , mn[x << 1 | 1]); } pr query(int b , int e , int l , int r , int x) { if(b <= l && r <= e) return mn[x]; int mid = (l + r) >> 1; pr ans(inf , inf); if(b <= mid) ans = min(ans , query(b , e , lson)); if(e > mid) ans = min(ans , query(b , e , rson)); return ans; } int main() { int n , m , i; scanf("%d%d" , &n , &m); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &key[i]) , v[++tot] = key[i]; for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &pri[i]); for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) { scanf("%s%d" , str , &qx[i]); if(str[0] == ‘I‘) opt[i] = 1 , scanf("%d" , &qy[i]) , v[++tot] = qx[i]; else if(str[0] == ‘D‘) opt[i] = 2; else opt[i] = 3 , scanf("%d" , &qy[i]); } sort(v + 1 , v + tot + 1); build(1 , tot , 1); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) insert(id(key[i]) , pri[i] , 1 , tot , 1); for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) { if(opt[i] == 1) insert(id(qx[i]) , qy[i] , 1 , tot , 1); else if(opt[i] == 2) erase(id(qx[i]) , 1 , tot , 1); else if(qx[i] < qy[i]) printf("%d\n" , v[query(id(qx[i]) , id(qy[i]) , 1 , tot , 1).second]); else printf("%d\n" , v[query(id(qy[i]) , id(qx[i]) , 1 , tot , 1).second]); } return 0; }
【bzoj2770】YY的Treap 權值線段樹