hdu 1695 GCD(歐拉函數+容斥原理)
阿新 • • 發佈:2017-06-22
spi fin clu init mod long long tac push_back gcd
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?
pid=1695
非常經典的題。同一時候感覺也非常難。
在區間[a,b]和[c,d]內分別隨意取出一個數x,y,使得gcd(x,y) = k。問這種(x,y)有多少對。能夠覺得a,c均為1,並且gcd(5,7)與gcd(7,5)是同一種。
由於gcd(x,y) = k,那麽gcd(x/k,y/k) = 1。也就是求區間[1,b/k]和[1,d/k]內這種(x,y)對使得gcd(x,y) = 1。
為了防止計數反復,首先假定b/k <= d/k,那麽當y <= b/k時。這種對數有Euler[y]個。當y > b/k時,先把y進行素因子分解為p1,p2...pi。僅僅要可以求出[1,b/k]內與y不互質的數,那麽與y互質的數用b減去就行了。求與y不互質的數的個數用到容斥原理。由於某些素因子的倍數是一樣的,令pi的整數倍集合為Ai,那麽就是求這些集合的並。
求集合的並依據容斥關系進行dfs。
這個想了好久沒有想出來,參考了某大神的博客寫出來的。大體思路就是如果素因子分解出來是p1,p2,p3,先把僅僅有p1倍數的個數求出來。這是一個遞歸的過程。即是p1倍數的個數減去p1p2倍數的個數減去p1p2p3倍數的個數,相同的對於p2,p2倍數的個數減去p2p3倍數的個數。
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <map> #include <set> #include <list> #include <stack> #include <vector> #include <math.h> #include <string.h> #include <queue> #include <string> #include <stdlib.h> #include <algorithm> //#define LL long long #define LL __int64 #define eps 1e-12 #define PI acos(-1.0) #define C 240 #define S 20 using namespace std; const int maxn = 100010; int flag[maxn]; int prime[maxn]; int phi[maxn]; vector <int> edge[maxn]; int test,a,b,c,d,k; //基於素數篩的歐拉函數 void init() { memset(flag,0,sizeof(flag)); prime[0] = 0; phi[1] = 1; for(int i = 2; i < maxn; i++) { if(flag[i] == 0) { prime[++prime[0]] = i; phi[i] = i-1; } for(int j = 1; j <= prime[0] && prime[j]*i < maxn; j++) { flag[prime[j]*i] = 1; if(i % prime[j] == 0) phi[prime[j]*i] = phi[i]*prime[j]; else phi[prime[j]*i] = phi[i]*(prime[j]-1); } } } //vector存每一個數的素因子。 void spilt() { for(int i = 1; i < maxn; i++) { int tmp = i; for(int j = 1; prime[j]*prime[j] <= tmp; j++) { if(tmp % prime[j] == 0) { edge[i].push_back(prime[j]); while(tmp % prime[j] == 0) tmp /= prime[j]; } if(tmp == 1) break; } if(tmp > 1) edge[i].push_back(tmp); } } //求小於等於b的與cur不互質的數的個數 LL dfs(int st, int b, int cur) { LL res = 0; for(int i = st; i < (int)edge[cur].size(); i++) { int k = b/edge[cur][i]; res += k - dfs(i+1,k,cur); } return res; } int main() { init(); spilt(); scanf("%d",&test); for(int item = 1; item <= test; item++) { scanf("%d %d %d %d %d",&a,&b,&c,&d,&k); if(k == 0 || k > b || k > d) { printf("Case %d: 0\n",item); continue; } b /= k; d /= k; if(b > d) swap(b,d); LL ans = 0; for(int i = 1; i <= b; i++) { ans += phi[i]; } for(int i = b+1; i <= d; i++) { ans += b-dfs(0,b,i); } printf("Case %d: %I64d\n",item,ans); } return 0; }
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