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1. P問題，非P類問題，NP問題，NPC問題

   • P問題：如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間（n在底數上面）裏解決的算法，那麽這個問題就是P問題。

   • NP問題：可以在多項式時間裏驗證一個解的問題。NP問題的另一個定義是，可以在多項式時間裏猜出一個解的問題。

   • NPC問題（NP-完全問題）：

     存在這樣一個NP問題，所有的NP問題都可以規約化為它，換句話說，只要解決了這個問題，那麽所有的NP問題就都可以得到解決了。
     1. 他是一個NP問題
     2. 所有的NP問題都可以規約化得到它。

   • NP難問題，只滿足NPC的第二個特征，而不滿足第一個特征.

   P問題是一個NP問題，但是一個NP問題不一定是一個P問題。因為有NPC問題的存在，是的人們確信P問題 和NP問題不是相等的

   規約：一個問題A可以規約為問題B的含義是，可以用問題B的解法解決問題A。問題B的時間復雜度高於問題A的時間復雜度。

   我們所說的可約化問題指的是在多項時間內，找到一個變化法則，對於人一個程序A的輸入，都都能按照程序B的輸入，使兩個程序的輸出相同，那麽我們說問題A可以約化為問題B。

   總之，P屬於NP，NP屬於NPC。

   • NPC問題的例子有：
     • 邏輯電路問題：給定一個邏輯電路，問是否存在一種輸入使輸出為True.
     • 哈密頓回路問題：
     • 旅行商問題

分治法

1. 思想

   1.  將一個規模為n的問題分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題相同。遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合並得到原問題的解。
   
   2.  divide-and-conquer(P)
   {
       if(|P| <= n0)adhoc(P);
       divide P into samller subinstances P1,P2...,Pk;
       for(int i = 1;i < k;i++)
       {
           yi = divide-and-conquer(Pi);
       }
       
    
   return merge(y1,y2...,yn);
   }
   3.如何劃分子問題
   -   集合論，找到一個原來集合問題的一個劃分，子問題之間不相交，同時子問題的規模類型相同
   -   最優子結構（子問題類型相同）
   -   最好使子問題的規模大致相同，即將一個問題的大小分成相等規模的k個子問題的處理方法是行之有效的。。

2. 例子

   1.  fibonacci 數列        
   2.  排列問題
   3.  整數劃分問題
   4.  Hanoi 塔問題
   5.  二分搜索
   6.  大整數乘法
   7.  Strassen 矩陣乘法
   8.  合並排序
   9.  快速排序

3. 復雜度分析

   主定理：T(n) = aT(n/b)+f(n),a>=1,b>1,f(n)是給定的多項式函數，刻畫了一個分值算法，生成a個子問題，每個問題的規模是原來的1/b，分解合並步驟共消耗f(n). T(n)的復雜度的分析如下：
   1.  若f(n)<n^(log(a/b)) 則T(n) = n^(log(a/b))
   2.  若f(n)=n^(log(a/b)) 則T(n) = n^(log(a/b))logn
   3.  若f(n)>n^(log(a/b)) 則T(n) = f(n)

動態規劃

1. 思想

   用一個表來記錄所有以解決問題子問題的答案，不管該子問題以後是否會用到，只要它被計算過，就將其結果存入到表中，這就是動態規劃法的基本思想。
   基本要素：
   1. 最優子結構：當一個問題的最優解包含了其子問題的最優解時，稱該問題具有最優子結構性質。
   2. 重疊子問題： 在使用遞歸算法的時候有很多子問題是重疊的，那麽我們使用一個表將已經求解過的子問題的結果保存下來

   備忘錄方法
   1. 與動態規劃一樣：備忘錄方法也是使用一張表來保存子問題的答案，下次需要解此子問題的時候，我們只需要簡單查看該子問題的答案即可，而不是重新計
   算。
   2. 與動態規劃不同：備忘錄方法的遞歸方式是自頂向下的，而動態規劃是自底向上的。 備忘錄方法與直接控制的遞歸結構是相同的，但是他不用重復求解相同子問題。
   3. 當一個問題的所有子問題都要至少解一次時，使用動態規劃算法比備忘錄方法好。 當子問題空間中部分子問題不必求解時，用備忘錄方法則較為有利，備忘錄方法只用來求解那些需要求解的子問題。
2. 基本步驟
   

   1. 找出最優解的性質，並刻畫其結構特征
   2. 遞歸地定義最優值
   3. 以自底向上的方式計算出最優值
   4. 根據計算最優值時得到的信息，構造最優解

3. 例子

   矩陣連乘
   最長公共子序列
   0-1背包問題

貪心算法

1. 思想

   貪心算法總是做出當前看來最好的選擇，也就是說貪心算法並不從整體最優考慮，它做出的選擇只是在某種意義上的局部最優選擇。
   貪心選擇的基本要素：
   1.  貪心選擇性質： 所求問題的整體最優解可以通過一系列局部最優的選擇，即貪心選擇來達到。
   2.  最優子結構： 一個問題的最優解包含其子問題的最優解時，此問題具有最優子結構性質

2. 貪心算法VS動態規劃

   1.  貪心算法擁有貪心選擇性質，動態化算法沒有。動態規劃算法中，每步所作出的選擇往往依賴於相關子問題的解。因而只有在解出相關子問題後，才能作出選擇； 而貪心算法中，僅在當前狀態下作出最好選擇，即局部最優選擇。然後去解作出這個選擇後產生相應的子問題。 貪心選擇依賴於過往所做選擇，但是不以利於將來將要作出的選擇，也不依賴於子問題的解。
   2. 動態規劃算法通常以自底向上的方式解各子問題，貪心算法則是自頂向下方式叠代進行貪心選擇，每一次貪心選擇將所求問題簡化為規模更小的子問題

3. 例子

   1. 活動安排問題 （最早截止時間優先）
   2. 背包問題 （權重空間比值最大者優先）
   3. 哈夫曼編碼 （頻率大者優先）
   4. 單源最短路徑 （局部最短路徑優先）
   5. 最小生成樹
       -prim （與源集合相連的權值最小邊優先）
       -kruskal-(集合中邊權值最小優先)
   6.  多級調度問題（長作業優先）

回溯法

算法設計與分析