數據結構與算法系列研究四——數組和廣義表
稀疏矩陣的十字鏈表實現和轉置
一、數組和廣義表的定義
數組的定義1：一個 N 維數組是受 N 組線性關系約束的線性表。
二維數組的邏輯結構可形式地描述為:
2_ARRAY(D,R)
其中 D={aij} | i=0,1,...,b1-1; j=0,1,...,b2-1;aij∈D0}
R={Row,Col}
Row={<aij,ai,j+1>|0<=i<=b1-1;0<=j<=b2-2;aij,ai,j+1∈D0}
ai,j+1是aij在行關系中的後繼元素。
Col={<aij,ai+1,j>|0<=i<=b1-2;0<=j<=b2-1;aij,ai+1,j∈D0}
ai+1,j是aij在列關系中的後繼元素。
①每一個數組元素a[i][j]都受兩個關系Row和Col的約束：
ROW(行關系)：ai,j+1 是aij在行關系中的直接後繼。
COL(列關系)：ai+1,j是aij在列關系中的後繼元素。
②每個數組元素屬於同一數據類型。
③每個數組元素由下標(i,j)唯一確定其位置。
④每個下標i由bi限定其範圍,0≤i≤bi-1
n維數組的邏輯結構可描述為：
n_ARRAY(D,R)
D---數組的元素
R---定義為數組元素間的關系
R＝(R1，R2，...，Rn)
數組的定義2 :一維數組是定長線性表； 二維數組是一個定長線性表，它的每個元素是一個一維數組；n維數組是線性表，它的每個元素是n-1維數組。
數組是線性結構，基於兩點：
1、一個 n維數組被定義為一個線性表，它的元素是一個 n-1維數組。
2、一個 n維數組的數據元素受n個關系的約束，且每個關系都是線性的。
其中： cn =L， ci-1= bi × ci, 1<i ≤ n ； ci 為常數
上式稱為n維數組的存儲映象函數
數組的基本操作:
1、數組初始化：確定數組維數、長度，分配存儲空間。
initarray(&A,n,bound[ ]);
bound[ ]= b1,b2......bn
2、撤消數組
destroyarray (&A);
3、求數組元素值
value(A,&e,index[ ]);
index[ ]= i1,i2,......in
4、為數組元素賦值
assign(&A,e,index[ ]);
數組的順序表示及實現:
用一遍地址連續的存儲單元依次存放數據元素。
1、數據類型描述
#define MAX_ARRAY_DIM 8
typedef struct {
ElemType *base; //數組元素空間
int dim; //數組維數
int *bounds; //數組維長
int *constant; //常數因子
}ARRAY;
矩陣的壓縮存儲:
1、矩陣壓縮存儲的概念
特殊矩陣：值相同元素或0元素在矩陣中分布有一定規律。
⒈對稱矩陣：矩陣中的元素滿足
aij=aji 1≤i,j≤n
⒉三角矩陣：上（下）三角矩陣指矩陣的下（上）三角（不包括對角線）中的元素均為常數c或0的n階矩陣。
⒊對角矩陣（帶狀矩陣）：矩陣中所有非0元素集中在以主對角線為中心的區域中。
稀疏矩陣：非0元素很少（ ≤ 5%）且分布無規律。
2、矩陣的壓縮存儲
為多個相同值的元分配一個存儲單元；對零元不分配空間。
對稱矩陣的壓縮存儲
存儲分配策略： 每一對對稱元只分配一個存儲單元,即只存儲下三角（包括對角線）的元, 所需空間數為:
n×（n+1）/2。
存儲分配方法： 用一維數組sa[n(n+1)/2]作為存儲結構。
sa[k]與aij之間的對應關系為:
稀疏矩陣存儲分配策略
只存儲稀疏矩陣的非0元素。
矩陣中的一個元素可以用行列下標和其值來唯一表示，因此可以用一個三元組（i，j，aij) 唯一確定一個非0元素。
邏輯上，用三元組表來表示稀疏矩陣的非0元
廣義表的定義
廣義表又稱為列表（lists），是n≥0個元素a1,a2,...,an的有限序列，記為：
A=( a1,a2,...,an)
其中：
A是廣義表的表名，n是廣義表的長度
ai 是單個元素或廣義表，
若ai是單個元素，則稱為廣義表的單元素(或原子)。
若是廣義表，則稱ai是廣義表的子表。所以廣義表又稱為列表。
即 ai ∈D0 或 ai ∈lists
廣義表的表頭（Head）：非空表A 的第一個元素 a1。
廣義表的頭與a1具有相同的表示形式。
廣義表的表尾(Tail)：除其頭之外的其余元素( a2,...,an)組成的表。
廣義表的尾一定是一個廣義表。
特點：廣義表的定義是一個遞歸的定義。
二、稀疏矩陣的十字鏈表實現
2.1．實驗內容
編程實現稀疏矩陣的十字鏈表實現
1.用txt文件錄入稀疏矩陣數組，格式如下：
m n t //表示行號，列號和總數
i j value
..................
2.讀文件建立十字鏈表
3.輸出建立後的鏈表，格式為;
行號1 列號11 值** 列號12 值*** 。。。。。
行號2 列號21 值** 列號22 值*** 。。。。。
。。。。。。。。。
4.實現矩陣的轉置
5.輸出轉置後的矩陣，格式為矩陣形式。
2.2.輸入和輸出
輸入：本程序采取文件讀寫形式，文件中數值格式詳見實驗內容
輸出：本程序有兩種輸出形式分別為按行輸出和按矩陣形式輸出
2.3.關鍵數據結構與算法描述
數據結構：建立十字鏈表需要知道行列號i，j和鏈表的right，down指針，以及節點的數值，於是數據結構呼之欲出，又因過程中讀文件時需要先建立一個緩沖器存儲節點的信息， 則兩個結構具體如下：
/***********以下構建數據結構************/ typedef struct OLink{ int i,j; ElemType value; struct OLink *right,*down; }*LinkList,OLink; /************構建存儲結構*************/ typedef struct record{ int i; int j; int value; }RECORD; /**************構建完畢**************/View Code
算法描述：
建立十字鏈表，
1.首先要知道鏈表的頭節點，因每行，每列都需要一個循環鏈表，則共需要m+n+1個頭指針，m個行指針，n個列指針，1個總頭指針。
2.建立完兩個指針鏈表之後（註意：此處鏈表的每一個元素都是附加頭節點），就要對矩陣的元素進行插入，當插入元素時要註意和對應行，對應列都建立聯系，構成網狀結構，當插入完元素之後，十字鏈表也就建立完畢了。
3.余下的就是輸出元素了，根據頭節點共有兩種輸出方法，一種按行輸出，一種按列輸出。當然也可以把非零元素放到二維數組中，通過二維數組進行輸出。
4.最後，就是矩陣的轉置，只需將a[i][j]與a[j][i]交換即可，再重新建立十字鏈表，修改初始化和i,j指向即可。其中最核心的算法就是頭節點的構建和元素的插入了，具體代碼如下：
/*************創建行，列頭節點*****************/ void CreateHead(LinkList *head, int m, int n) { //以下建立列頭結點 LinkList p = *head,q; //構建列頭節點 for(int i=0; i<n; i++) { q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); q->i = -1; //註意在矩陣的外面，也可以不賦值 q->j = i; //代表矩陣的列號，從0開始 q->down = q; //構建循環鏈表的標誌 p->right = q; //鏈接 p = q; //繼續向前推進 } p->right = (*head);//循環鏈表的標誌 //以下建立行頭結點，基本原理同上 p = (*head); for(i=0; i<m; i++) { q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); q->i = i; q->j = -1; q->right = q; p->down = q; p = q; } p->down = (*head); } /************各個頭節點構建完畢，共m+n+1個************/ /***************插入節點的算法************************/ bool InsertNode(LinkList *head, int i, int j, ElemType e) { LinkList p = *head,q; if(i < 0||j < 0||i >= (*head)->i||j >= (*head)->j) return false; /********構建節點********/ q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); q->i = i; q->j = j; q->value = e; /*******完畢***********/ for(int k=0; k<=i; k++) { p = p->down;//註意此處等於i截至 } //產生定位指針 LinkList sr = p,s = p->right; /******若不滿足s==p,或者插入元素大於後面元素，繼續推進********/ while(s!=p && q->j>s->j) { sr = s; s=s -> right; } /*******推進完畢，有可能有三種情況*************/ q->right = s; sr->right = q; /**********行鏈接處理完畢*********************/ /******以下鏈接列鏈表，方法同上**********************/ p = *head; for( k=0; k<=j; k++) { p = p->right; } sr = p; s = p->down; while(s!=p && q->j>s->j) { sr = s; s = s->down; } q->down = s; sr->down = q; /**********列鏈接處理完畢*********************/ return true; }View Code
2.4．測試與理論
1.在文件操作中輸入如下文本：
2.程序運行後應產生9*5的矩陣，具體輸出形式應與要求一致，如圖;
3.轉置後變成5*9的矩陣，具體顯示如下
2.5、所有程序
1 #include "stdlib.h" 2 #include "conio.h" 3 #include "iostream" 4 using namespace std; 5 6 typedef int ElemType;//設置元素類型 7 8 /***********以下構建數據結構************/ 9 typedef struct OLink{ 10 int i,j; 11 ElemType value; 12 struct OLink *right,*down; 13 }*LinkList,OLink; 14 /************構建存儲結構*************/ 15 typedef struct record{ 16 int i; 17 int j; 18 int value; 19 }RECORD; 20 /**************構建完畢**************/ 21 22 /**************進行初始化操作********************/ 23 void InitArray(LinkList *head, int m, int n) 24 { 25 *head = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); 26 (*head)->i=m; //行長度 27 (*head)->j=n; //列長度 28 } 29 /***************初始化完畢*********************/ 30 31 /*************創建行，列頭節點*****************/ 32 void CreateHead(LinkList *head, int m, int n) 33 { 34 //以下建立列頭結點 35 LinkList p = *head,q; 36 //構建列頭節點 37 for(int i=0; i<n; i++) 38 { 39 q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); 40 q->i = -1; //註意在矩陣的外面，也可以不賦值 41 q->j = i; //代表矩陣的列號，從0開始 42 43 q->down = q; //構建循環鏈表的標誌 44 p->right = q; //鏈接 45 p = q; //繼續向前推進 46 } 47 p->right = (*head);//循環鏈表的標誌 48 49 //以下建立行頭結點，基本原理同上 50 p = (*head); 51 for(i=0; i<m; i++) 52 { 53 q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); 54 q->i = i; 55 q->j = -1; 56 57 q->right = q; 58 p->down = q; 59 p = q; 60 } 61 p->down = (*head); 62 } 63 /************各個頭指針構建完畢，共m+n+1個************/ 64 65 /***************插入節點的算法************************/ 66 bool InsertNode(LinkList *head, int i, int j, ElemType e) 67 { 68 LinkList p = *head,q; 69 if(i < 0||j < 0||i >= (*head)->i||j >= (*head)->j) 70 return false; 71 72 /********構建節點********/ 73 q = (LinkList)malloc(sizeof(OLink)); 74 q->i = i; 75 q->j = j; 76 q->value = e; 77 /*******完畢***********/ 78 79 80 for(int k=0; k<=i; k++) 81 { 82 p = p->down;//註意此處等於i截至 83 } 84 //產生定位指針 85 LinkList sr = p,s = p->right; 86 /******若不滿足s==p,或者插入元素大於後面元素，繼續推進********/ 87 while(s!=p && q->j>s->j) 88 { 89 sr = s; 90 s=s -> right; 91 } 92 /*******推進完畢，有可能有三種情況*************/ 93 q->right = s; 94 sr->right = q; 95 /**********行鏈接處理完畢*********************/ 96 97 98 /******以下鏈接列鏈表，方法同上**********************/ 99 p = *head; 100 for( k=0; k<=j; k++) 101 { 102 p = p->right; 103 } 104 sr = p; 105 s = p->down; 106 while(s!=p && q->j>s->j) 107 { 108 sr = s; 109 s = s->down; 110 } 111 q->down = s; 112 sr->down = q; 113 /**********列鏈接處理完畢*********************/ 114 115 return true; 116 } 117 118 /**********關於矩陣轉置的算法，即a[i][j]<->a[j][i]******************/ 119 LinkList MatrixTransposition(LinkList head, int m, int n) 120 { 121 LinkList THead = head,p,q,h; 122 int temp; 123 //重新構造十字矩陣，列換行，行換列 124 InitArray(&h,n,m); 125 CreateHead(&h,n,m); 126 for(p = THead->down; p!=THead; p = p->down) 127 { 128 129 for(q = p->right; q!=p; q = q->right) 130 { 131 //j變i，i變j,值不變 132 if(!InsertNode(&h, q->j, q->i, q->value)) 133 return NULL; 134 } 135 136 } 137 return h; 138 139 } 140 /*******銷毀鏈表操作******************/ 141 void DestroyMatrix(LinkList *head) 142 { 143 LinkList p,q,r; 144 for(p = (*head)->down; p!=*head; p = p->down) 145 { 146 147 for(q = p->right; q!=p;) 148 { 149 r = q->right; 150 free(q); 151 q=r; 152 } 153 154 } 155 } 156 /*************打印矩陣算法*********************/ 157 void PrintMatrix(LinkList head,int m,int n) 158 { 159 LinkList p,q; 160 161 cout<<"此矩陣為"<<m<<"*"<<n<<"型"<<endl; 162 //向下推進，按行輸出 163 for(p = head->down; p!=head; p = p->down) 164 { 165 cout<<"第"<<p->i<<"行 "; 166 for(q = p->right; q!=p; q = q->right) 167 { 168 169 cout<<" "<<"["<<q->i<<","<<q->j<<"] "<<q->value<<" "; 170 } 171 cout<<endl; 172 } 173 } 174 //以矩陣形式輸出 175 void MatrixPrint(LinkList head,int m,int n) 176 { 177 int a[100][100]; 178 LinkList p,q; 179 memset(a,0,sizeof(a));//置零 180 for(p = head->down; p!=head; p = p->down) 181 { 182 for(q = p->right; q!=p; q = q->right) 183 { 184 a[q->i][q->j]=q->value;//賦值 185 } 186 } 187 for(int i=0;i<m;i++) 188 { 189 for(int j=0;j<n;j++) 190 { 191 cout<<a[i][j]<<" "; 192 } 193 cout<<endl; 194 } 195 } 196 197 void MainMenu() 198 { 199 LinkList head,h; 200 int m,n,total;//total為矩陣中非零數值個數 201 RECORD RecordMatrix[1000]; 202 FILE *fp; 203 204 if((fp = fopen("F:Matrix.txt","r"))==NULL) 205 { 206 cout<<"cannot open the file"<<endl; 207 exit(-1); 208 } 209 //找到矩陣的基本框架 210 fscanf(fp,"%d%d%d",&m,&n,&total); 211 //緩存器record 212 for(int i=0;i<total;i++) 213 { 214 fscanf(fp,"%d%d%d",&RecordMatrix[i].i,&RecordMatrix[i].j,&RecordMatrix[i].value); 215 } 216 //構建十字鏈表 217 InitArray(&head,m,n); 218 CreateHead(&head,m,n); 219 for(i=0;i<total;i++) 220 { 221 if(!InsertNode(&head,RecordMatrix[i].i,RecordMatrix[i].j,RecordMatrix[i].value)) 222 return ; 223 } 224 cout<<"原矩陣元素為"<<endl; 225 PrintMatrix(head,m,n);//打印鏈表矩陣 226 MatrixPrint(head,m,n);//以矩陣形式打印 227 228 //測試轉制後的矩陣 229 h = MatrixTransposition(head,m,n); 230 cout<<endl<<"轉置後矩陣元素為"<<endl; 231 PrintMatrix(h,n,m); 232 MatrixPrint(h,n,m);//以矩陣形式打印 233 234 DestroyMatrix(&head);//銷毀鏈表 235 DestroyMatrix(&h); //銷毀鏈表 236 fclose(fp); //關閉文件 237 } 238 239 int main() 240 { 241 MainMenu();//引入主函數 242 getchar(); 243 return 0; 244 }View Code
數據結構與算法系列研究四——數組和廣義表